Folytonos függvény

A matematikában, közelebbről a matematikai analízisben egy f függvény folytonossága az x helyen azt jelenti, hogy x kis megváltoztatása esetén a hozzá tartozó függvényérték, az f(x) is csak kicsit változik. A „kis változás” matematikailag a határérték segítségével értelmezhető. A folytonosság lokális (helyi) tulajdonság, a függvény értelmezési tartományának egy pontjában definiált fogalom (pontbeli folytonosság).

A korlátos és zárt intervallumon értelmezett valós függvények esetén beszélhetünk intervallumon való folytonosságról. (Vö.: Darboux-tulajdonság.) Ez utóbbiak szemléletesen mutatják a folytonos függvényekről alkotott intuitív képet, miszerint ezeknek a grafikonja a ceruza felemelése nélkül megrajzolható.

Némileg bonyolultabb, illetve szerteágazóbb probléma a görbék ill. más geometriai alakzatok folytonosságának kérdése általában. Ezzel a topológia foglalkozik. A probléma részben visszavezethető a valós-valós függvények folytonosságának és határértékeinek vizsgálatára, de ettől függetlenül és jóval általánosabb keretek között, pl. v. mely topológiai axiómerendszer vagy struktúra segítségével is tárgyalható.

Pontbeli folytonosság

Definíció

Azt mondjuk, hogy a valós számok egy A részhalmazán értelmezett f: A → R függvény folytonos az értelmezési tartományának egy u pontjában, és ezt $f\in C(u)$-val jelöljük, ha minden ε pozitív számhoz létezik olyan δ pozitív szám, hogy minden olyan x ∈ A számra, amely u-tól δ-nál kisebb mértékben tér el, teljesül, hogy az f(x) függvényérték ε-nál kisebb távolságra van f(u)-tól. Azaz

$\forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\quad \forall x\in A\quad (\;|x-u|<\delta \;\Rightarrow \;|f(x)-f(u)|<\varepsilon )$

Magyarázat. a függvény u-beli folytonossága azt jelenti, hogy akármilyen kicsi ε hibakorlátot is szabunk, mindig lesz az u körül olyan kis ( u-δ, u+δ ) intervallum, amelyen belüli x-ekre a függvény f(x) értékei a hibakorlátnál – ε-nál – kisebb mértékben térnek el f(u)-tól.

Folytonosság jellemzése határértékkel

Legyen f a valós számok egy A részhalmazán értelmezett, valós értékű függvény és legyen u ∈ A. Az, hogy az f függvény az u pontban folytonos, egyenértékű azzal, hogy

• u az A-nak vagy izolált pontja, vagy
• u az A-nak torlódási pontja és létezik az f(u)-val egyenlő $\lim \limits _{x\to u}f(x)$ határérték.

u torlódási pontja A-nak, ha bármely pozitív ε-hoz létezik A-nak olyan u-val nem egyenlő eleme, melynek távolsága u-tól kisebb, mint ε. A-nak izolált pontja u, ha nem torlódási pontja, azaz létezik olyan pozitív ε, melyre A-nak nincs más eleme az (u-ε , u+ε) nyílt intervallumban, csak u.

Átviteli elv

Ezt még Heine-féle definíciónak illetve a folytonosságra vonatkozó átviteli elvnek is szokták nevezni.

Az f valós számok halmazának egy A részhalmazán értelmezett valós értékű függvény akkor és csak akkor folytonos az u ∈ A pontban, ha minden, az értelmezési tartományában haladó, u-hoz konvergáló (x_n) sorozat esetén a függvényértékek (f(x_n)) sorozata is konvergens és az f(u) számhoz tart, azaz

$\forall (x_{n}):\mathbb {N} \to A\quad (\;\lim \limits _{n\to \infty }x_{n}=u\;\Rightarrow \;\lim \limits _{n\to \infty }f(x_{n})=f(u))$

Halmazon való folytonosság

Azt mondjuk, hogy egy f függvény folytonos az értelmezési tartományának egy H részhalmazán, és ezt $f\in C(H)$-val jelöljük, ha f folytonos a H halmaz minden pontjában. Röviden csak azt mondjuk, hogy f folytonos, és ezt $f\in C$-vel jelöljük, ha f folytonos az értelmezési tartományán.

Lásd: Intervallumon értelmezett függvények

Uniform folytonosság

Ha $X$ és $Y$ a valós számok részhalmazai, akkor az $f:X\to Y$ függvény uniform folytonos, ha bármely $\epsilon >0$-ra létezik $\delta >0$, úgy, hogy bármely $x,y\in X$, $|x-y|<\delta$ teljesül, hogy $|f(x)-f(y)|<\epsilon$. A folytonosság és az uniform folytonosság között az a különbség, hogy az uniform folytonosság esetén a $\delta$ értéke csak $\epsilon$-tól függ, magától az $a$ ponttól nem.

Abszolút folytonosság

Legyen $I$ a valós számok egy intervalluma. Az $f:I\to R$ függvény abszolút folytonos az $I$ halmazon, ha bármely pozitív $\epsilon$-hoz létezik egy pozitív $\delta$, úgy, hogy bármely véges sorozatára a páronként diszjunkt $(x_{k},y_{k})$ részintervallumoknak teljesül, hogy:

$\sum _{k}\left|y_{k}-x_{k}\right|<\delta$-ra igaz :$\displaystyle \sum _{k}|f(y_{k})-f(x_{k})|<\epsilon .$.

Az alábbi állítások a valós $f$ függvényre vonatkozóan az $[a,b]$ kompakt intervallumon ekvivalensek:

1. $f$ abszolút folytonos;
2. $f$-nek majdnem mindenhol létezik egy $f'$ deriváltja, amely Lebesgue-integrálható és$f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}f'(t)\,dt$ bármely $x$-re az $[a,b]$ intervallumon;
3. létezik egy $g$ Lebesgue-integrálható függvény $[a,b]$ intervallumon, úgy, hogy $f(x)=f(a)+\int _{a}^{x}g(t)\,dt$ bármely $x$-re az $[a,b]$ intervallumon.

Ha a fentiek teljesülnek, akkor majdnem mindenhol $g=f'$. Az első és harmadik pont ekvivalenciáját a Lebesgue-integrálás alaptételének nevezik.

Szakadás

A valós-valós függvények leképezését legtöbbször egy képlettel adják meg. A függvény vizsgálata, vagyis analízise legtöbbször annak az $D_{f}\subset \Re$ halmaznak (értelmezési tartomány) a meghatározásával kezdődik, amelynek minden pontjában értelmezhető a képlet műveletsora, azaz kiszámítható, tehát létezik a megfelelő $f(x)$ helyettesítési érték.

Szinguláris pont

Ha a szakadási helyen a függvény határértéke ±∞, akkor szingularitásról beszélünk.

Megszüntethető szakadás

Ha egy $v\in \Re$ hely a függvény szakadási helye, ahol a határérték létezik és véges, akkor képlet hozzárendelését kiegészítve a $f(v):=\lim[f(x)]$ előírással, a (grafikon) szakadása megszüntethető.

Ugráshely

Egy $v\in D_{f}$ hely a függvény ugráshelye, ha létezik mind a bal-, mind a jobb oldali határérték és ezek egyike megegyezik a függvényértékkel.

Elsőfajú a szakadás,

ha a függvénynek a $v$ helyen van bal oldali és jobb oldali határértéke, de ezek vagy különbözők, vagy a közös érték nem egyezik meg az $f(v)$ helyettesítési értékkel. (A gyakorlati alkalmazásoknál ez utóbbi esetben is megszüntethető a szakadás.)

Másodfajú a szakadás,

minden egyéb esetben.

Kapcsolódó szócikkek

• Egyenletes folytonosság
• Abszolút folytonosság

Hivatkozások

Külső hivatkozások

• PlanetMath: continuous
• Encyclopaedia of Mathematics: Continuous function