Kategóriaelmélet

A kategóriaelmélet az univerzális algebrához hasonlóan felfogható matematikai struktúrák általános elméleteként, ahol a struktúrák között szerepelnek csoportok, gyűrűk, modulusok és topologikus terek. Alapfogalmai a kategóriák, funktorok, és az előbbiek által definiált természetes transzformációk. A tulajdonságokat nem az elemek közötti relációkként, hanem morfizmusokkal és funktorokkal hasonlítják össze a kategóriákat és azok típusait.

Az 1940-es években a topológia egyik ágaként alakult ki. Saunders Mac Lane a Samuel Eilenberggel közös 1945-ben megjelent cikkét nevezte az első kategóriaelméleti műnek.

Bővebben

Ez a fajta absztrakció nemcsak az alapvető, elméletet átfogó fogalmak magyarázatával foglalkozik, hanem segít az egyik matematikai elméletből a másikba módszereket és fogalmakat átvinni. Ennek egy példája az, hogy a homologikus algebra módszereit az Abel-csoportokra fejlesztették ki, majd általánosították gyűrűk fölötti modulusokra is, végül a kommutatív kategóriák elméleteként teljesítették ki.

A kategóriaelmélet az alapvető kérdésekkel is foglalkozik. A matematika klasszikus halmazelméleten alapuló felépítésével szemben alternatívát kínálnak azok a struktúrák, amelyekben a halmazok fontos tulajdonságait morfizmusokkal definiálják. Ezekből a halmazokból kategóriát alkotnak, majd még egy absztrakcióval kivonatolják őket. Ennélfogva a kategóriaelmélet alkalmazható a logikában, az elméleti informatikában és a matematikai fizikában.

Definíciók

Kategóriák

Legyen ${\mathcal {C}}$ egy kategória! Ekkor ${\mathcal {C}}$ a következőkből áll:

• Objektumok egy $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ osztálya
• Morfizmusok egy osztálya, ahol a morfizmus eleme a $\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y),$ halmaznak, és az objektumok összesA párjára definiálva van. A morfizmusok halmazát jelölik még így is: $\operatorname {Hom} _{\mathcal {C}}(X,Y)$ , $[X,Y]_{\mathcal {C}}$, ${\mathcal {C}}(X,Y)$ vagy $(X,Y)_{\mathcal {C}}$. A kategória különböző morfizmusosztályai diszjunktak, tehát nem lehet olyan morfizmus, amelyik egyszerre több típusnak is tagja. Az $f\colon X\to Y$ morfizmus forrása $X$, amit $\operatorname {dom} (f)$ is jelöl; célja $Y$, aminek jele $\operatorname {cod} (f)$.
• Műveleti leképezések:

$\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(Y,Z)\times \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Z),\;(g,f)\mapsto g\circ f,$

amelyek általános értelemben asszociatívak:

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f),$ ahol $\operatorname {cod} (f)=\operatorname {dom} (g)$ és $\operatorname {cod} (g)=\operatorname {dom} (h)$.

Néha elhagyják a $\circ$-t, és például $h\circ g$ helyett $hg$-t írnak

• Egy identitásmorfizmus, $\operatorname {id} _{X}\colon X\to X$, ami minden objektumhoz önmagát rendeli. Ez az $X$ forrású és célú morfizmusok neutrális eleme a kompozícióra. Azaz $\operatorname {id} _{X}\circ f=f$, hogyha $\operatorname {cod} (f)=X$, és $f\circ \operatorname {id} _{X}=f$, ha $\operatorname {dom} (f)=X$. Az $\operatorname {id} _{X}$ jelölés helyett $1_{X}$ is használatos.

Részkategória

A ${\mathcal {D}}$ kategória részkategóriája a ${\mathcal {C}}$ kategóriának, ha $\operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ részosztálya $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$-nek, és minden $D$-beli $X$ és $Y$ objektumpár $\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,Y)$ morfizmushalmaza része a $\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$-nak. Ha mindegyik ilyen párra $\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(X,Y)=\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$, akkor a ${\mathcal {D}}$ részkategória teljes. Egy teljes részkategória egyértelműen megadható tartóhalmazával.

Duális kategória

A ${\mathcal {C}}$ kategória duális kategóriája a ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$ kategória, ha $\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} })=\operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ és

$\operatorname {Mor} _{{\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }}(X,Y)=\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(Y,X)$.

Az identitásmorfizmus és a leképező műveletek megegyeznek a ${\mathcal {C}}$-beliekkel. Szemléletesen, ${\mathcal {C}}^{\mathrm {op} }$-ban a morfizmusok a másik irányba mennek. A $({\mathcal {C}}^{\mathrm {op} })^{\mathrm {op} }$ kategória megegyezik ${\mathcal {C}}$-vel.

Szorzatkategória

A ${\mathcal {C}}$ és ${\mathcal {D}}$ kategóriák szorzata az a ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}$ kategória, amelynek objektumai éppen az $(X,Y)$ párok, ahol $X\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})$ és $Y\in \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$, morfizmusai:

$\operatorname {Mor} _{{\mathcal {C}}\times {\mathcal {D}}}{\bigl (}(X,Y),(X',Y'){\bigr )}=\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,X')\times \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(Y,Y')$.

A morfizmusok kompozíciója komponensenként végezhető, így $(f,g)\circ (f',g')=(f\circ f',g\circ g')$, és $\operatorname {id} _{(X,Y)}=(\operatorname {id} _{X},\operatorname {id} _{Y})$.

Funktorok

Egy kovariáns funktor egy kategóriák közötti homomorfia. Egy ${\mathcal {C}}$ kategóriát a ${\mathcal {D}}$ kategóriába vivő $F$ funktor adatai a következők:

• az $F\colon \operatorname {Ob} ({\mathcal {C}})\to \operatorname {Ob} ({\mathcal {D}})$ hozzárendelés
• az $F\colon \operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)\to \operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(F(X),F(Y))$ leképezések minden ${\mathcal {C}}$-beli $X$, $Y$ elempárra
• jól illeszkedik a kompozíciókhoz, azaz $F(f\circ g)=F(f)\circ F(g)$
• tartalmazzák az identitásmorfizmust: $F(\operatorname {id} _{X})=\operatorname {id} _{F(X)}$

Egy kontravariáns funktor, vagy kofunktor ${\mathcal {C}}$-ből ${\mathcal {D}}$-be egy ${\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to {\mathcal {D}}$ funktor. Leírása, mint a kovariáns funktoré, a következők kivételével:

• a morfizmushalmazok leképezései $\operatorname {Mor} _{\mathcal {C}}(X,Y)$-ből $\operatorname {Mor} _{\mathcal {D}}(F(Y),F(X))$-be mennek
• a jól illeszkedés ezt jelenti: $F(f\circ g)=F(g)\circ F(f)$

Egy kategóriát önmagába vivő funktor az adott kategória endofunktora.

Ha ${\mathcal {C}},{\mathcal {D}},{\mathcal {E}}$ kategóriák, és $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ úgy, hogy $G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {E}}$ ko- vagy kontravariáns funktorok, akkor a $GF$ kompozíció ${\mathcal {C}}\to {\mathcal {E}}$ is funktor, ami definiálható így:

$(G\circ F)(X)=G(F(X)),\quad (G\circ F)(f)=G(F(f))$

$X$ objektumokra és $f$ morfizmusokra. A $GF$ funktor pontosan akkor kovariáns, ha $F$ és $G$ is ko- vagy kontravariáns, különben kontravariáns.

Természetes leképezések

A természetes leképezések a párhuzamos funktorok leképezései. A leképezés két funktorból, itt $F$-ből és $G$-ből indul ki, amelyek ugyanabból a ${\mathcal {C}}$ kategóriából ugyanabba a ${\mathcal {D}}$ kategóriába mennek. $F$ egy természetes $t$ transzformációja $G$-be tartalmaz ${\mathcal {C}}$ minden objektumra komponensként tartalmaz egy $t_{X}\colon F(X)\to G(X)$ morfizmust. Ezzel az $f\colon X\to Y$ morfizmussal ${\mathcal {C}}$ objektumai között ennek a diagramnak kommutatívnak kell lennie:

${\begin{array}{rcl}F(X)&{\xrightarrow[{}]{F(f)}}&F(Y)\\t_{X}\!\downarrow &&\downarrow \!t_{Y}\\G(X)&{\xrightarrow[{G(f)}]{}}&G(Y)\\\end{array}}$

Képlettel: $t_{Y}\circ F(f)=G(f)\circ t_{X}$.

Az $F$ és $G$ ${\mathcal {C}}$-ből ${\mathcal {D}}$-be menő funktorok természetesen ekvivalensek, ha vannak természetes $t\colon F\to G$ és $u\colon G\to F$ transzformációk, amelyekre $tu$ és $ut$ identitás. Másként: a természetes ekvivalencia izomorfia a funktorok kategóriájában. Egy $t$ természetes leképezés pontosan akkor természetes ekvivalencia, ha minden komponense izomorfia.

Az $F\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ funktor kategóriaekvivalencia, ha van egy $G\colon {\mathcal {D}}\to {\mathcal {C}}$ funktor, hogy $FG$ és $GF$ rendre természetesen ekvivalens ${\mathcal {D}}$, illetve ${\mathcal {C}}$ identitásával. Megmutatható, hogy a kategóriaekvivalenciák teljesen hűek, és lényegében szürjektívek.

Példák

Kategóriák

A szakirodalomban nincsenek egységes jelölések a különféle kategóriák számára. A kategória leírását gyakran zárójelbe teszik.

• A Set kategória a halmazok kategóriája. A kategória az $\operatorname {Ob} (\mathbf {Set} )$ összes halmaz osztálya, ellátva az összes $X$-ből $Y$-ba menő leképezéssel, mint morfizmussal, azaz $\operatorname {Mor} _{\mathbf {Set} }(X,Y)=Y^{X}.$ A morfizmusok közötti művelet a kompozíció.
• A PoSet vagy Pos kategória objektumai a részben rendezett halmazok, morfizmusai a monoton leképezések.
• A Top kategória objektumai a topologikus terek, morfizmusai a folytonos leképezések. Ennek teljes kategóriája a KHaus kompakt Hausdorff-terek kategóriája.
• A Grp avagy Gr a csoportok kategóriája, és morfizmusai a csoporthomomorfizmusok. Ennek teljes alkategóriája az Abel-csoportok AbGrp vagy Ab kategóriája.
• Az NLinSp kategória a normált lineáris terek kategóriája a folytonos (korlátos) lineáris leképezésekkel, mint morfizmusokkal. Részkategóriát alkotnak például a Banach-terek a folytonos lineáris leképezésekkel (BanSp₁ kategória), vagy folytonos normaredukált leképezésekkel (BanSp₂ kategória), vagy az egységelemes kommutatív komplex Banach-algebrák a normaredukált algebrahomomorfizmusokkal.
• A Cat vagy Kat a kis kategóriák kategóriája. Egy kategória akkor kicsi, ha morfizmusainak osztálya halmaz. Az objektumok a kis kategóriák, a morfizmusok a funktorok. A kis kategóriákra vonatkozó korlátozásnak halmazelméleti okai vannak.
• Egy halmaz az $(X,\leq )$ részben rendezéssel meghatároz egy kategóriát: az objektumok a halmaz elemei, az elempárok $\operatorname {Mor} (a,b)$ morfizmusai akkor tartalmaznak egy elemet, ha $a\leq b$, különben üresek.
• Ha az $X$ halmaz üres, akkor egy objektumok ér morfizmusok nélküli kategóriát határoz meg. Ez a $\mathbf {0}$ kezdeti, vagy üres kategória.
• Ha $X$ egy elemű, akkor az $\mathbf {1}$ végső kategória keletkezik, ami egy objektumból és ennek identitásmorfizmusából áll.
• Ha ${\mathcal {C}}$ és ${\mathcal {D}}$ kategóriák, akkor a $\operatorname {Mor} ({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$ funktorkategória objektumai a ${\mathcal {C}}$-ből ${\mathcal {D}}$-be menő funktorok, morfizmusai a természetes transzformációk.
• Ha ${\mathcal {C}}$ kategória, és $S$ eleme ${\mathcal {C}}$-nek, akkor az $S$ fölötti ${\mathcal {C}}/S$ kategória így definiálható: ${\mathcal {C}}/S$ objektumai ${\mathcal {C}}$ $S$ célú morfizmusai, és ${\mathcal {C}}/S$ morfizmusai ${\mathcal {C}}$-nek azok a morfizmusai, amelyek struktúrahomomorfizmussal $S$-be vihetők. Azaz $f\colon X\to S$ és $g\colon Y\to S$ ${\mathcal {C}}/S$ objektumai, így az $(X,f)$-ből $(Y,g)$-be menő $h$ morfizmusok ${\mathcal {C}}/S$-ban azok a morfizmusok, amelyekre $gh=f$ teljesül.
• Megfordítva, legyen * rögzített egy pontos topologikus tér; ekkor a * alatti topologikus terek kategóriája izomorf a Top^* pontozott topologikus terek kategóriájával.

A legtöbb fenti kategória olyan, vagy reprezentálható úgy, hogy objektumai műveletekkel ellátott halmazok legyenek, morfizmusai az ezek szerkezetére illeszkedő homomorfizmusok, és a morfizmusok közötti művelet a kompozíció. Az ilyen kategóriák konkrétok. A konkretizálható kategóriák azok, amelyek ekvivalensek egy konkrét kategóriával. De vannak más, nem konkretizálható kategóriák is:

• A HoTop avagy hTop objektumai topologikus terek, morfizmusai a folytonos leképezések homotópiaosztályai.
• A kis kategóriák kategóriája a funktorok természetes ekvivalenciaosztályaival, mint morfizmusokkal.

Funktorok

A funktorokat többnyire az objektumok hozzárendelésével adják meg, ha a morfizmushalmazok leképezései azokból könnyen levezethetők.

• A C kategória egy T objektumára az

X $\mapsto$ Mor_C(T,X)

hozzárendelés (kovariáns) C → Set. funktor. Az

X $\mapsto$ Mor_C(X,T)

funktor kontravariáns. Lásd még: Hom-funktor.

• Legyen $K$ test, és $\mathrm {Vekt} _{K}$ a $K$ fölötti vektorterek kategóriája a $K$-lineáris leképezésekkel, mint morphizmusokkal. Legyen egy

kontravariáns funktor így definiálva:

$D\colon \mathrm {Vekt} _{K}\to \mathrm {Vekt} _{K}$ ahol:

• egy $V$ objektum $D(V)=V^{*}=\mathrm {Hom} _{K}(V,K)$ $V$ duális tere
• egy $f\colon V\to W$ lineáris leképezésre

$D(f)\colon W^{*}\to V^{*},\quad \lambda \mapsto \lambda \circ f.$

Könnyen belátható, hogy $D(f\circ g)=D(g)\circ D(f)$ és $D(\mathrm {id} _{V})=\mathrm {id} _{V^{*}}$.

• G_m: (gyűrűk) → (csoportok): az egységelemes gyűrűkhöz az egységelemüket rendeli. Általában: GL_n: (gyűrűk) → (csoportok): a gyűrűkhöz az általános lineáris csoportot rendeli, vagyis az invertálható n×n-es mátrixok csoportját.
• A fundamentális csoport egy Top → Grp funktor; a magasabb homotópiák és a homológiacsoportok Top → Ab funktorok; a kohomológiacsoportok Top → Ab kontravariáns funktorok.
• A részben rendezett halmazok által meghatározott kategóriák funktorai éppen a monoton függvények.
• Felejtő funktorok: Nyilván léteznek Ab → Set, Ab → Grp, Top → Set és más hasonló funktorok, amelyek egyszerűen elfelejtik egy struktúra egy részét, például az Abel-csoportokhoz a csoportot, de a kommutativitás, mint információ nélkül, vagy a tartóhalmazt rendelik műveletek nélkül; hasonlóan, egy topologikus térhez a tartóhalmazát rendelik, és így tovább.
• Szabad kontrukciók, például a szabad Abel-csoportok: Minden $S$ halmazhoz hozzárendelhetjük az $F(S):=\{a\colon S\to \mathbb {Z} ~|~a(s)\neq 0~{\text{legfeljebb véges sok}}~s\in S\}$ Abel-csoportot pontonkénti összeadással. A leképezések nyilvánvaló $F(f)\colon a\mapsto t\mapsto \sum _{s\in f^{-1}(t)}a(s)$ hozzárendeléseivel adódik egy Set-ből Ab-be menő funktor. Ekkor fennáll egy $\operatorname {Mor} _{Set}(S,V(A))\cong \operatorname {Mor} _{Ab}(F(S),A)$ kanonikus izomorfia, ahol V felejtő funktor. Azt mondjuk, hogy F a V-hez (bal)adjungált funktor.

Sok felejtő funktorhoz léteznek hasonló konstrukciók.

Természetes transzformációk

• A továbbiakban a duális tér funktorainak szakaszában használt jelöléseket használjuk újra. Egy V vektortér

$\tau _{V}\colon V\to V^{**},\quad v\mapsto (\lambda \mapsto \lambda (v))$

leképezései a biduális terébe természetes transzformációk:

$\tau \colon \mathrm {id} _{\mathrm {Vekt} _{K}}\to D\circ D.$

A véges dimenziós vektorterek teljes részkategóriáján $\tau$ természetes ekvivalencia.

• det: GL_n → G_m: Egy R gyűrűre a det_R GL_n(R) → R^× csoporthomomorfia.
• A Hurewicz-leképezés:

$\pi _{k}(X)\to H_{k}(X,\mathbb {Z} )$

• Kohomlógiában a cupszorzat.
• Egy csoport Abelizációja:

$G\to G^{\mathrm {a} b}:=G/[G,G]$

Yoneda-lemma és általános konstrukciók

Az univerzális konstrukciók egyszerű fogalmakat visznek át a halmazok kategóriájából más kategóriákba.

Legyen C kategória. Az

$h\colon C\to \mathbf {Mor} (C^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} ),$

funktor, ami egy 'X objektumhoz az

$h_{X}\colon T\mapsto \mathrm {Mor} _{C}(T,X)$

funktort rendeli, teljesen hű. Általában, a C X objektumaira és Mor(C^op,Set) F funktoraira:

$\mathrm {Mor} _{\mathbf {Mor} (C^{\mathrm {op} },\mathbf {Set} )}(h_{X},F)=F(X)$.

A fenti Yoneda-lemma lehetővé teszi a szerkezeti transzfert, vagyis a halmazok kategóriájának tulajdonságainak általánosítását. Például a Descartes-szorzat: az X_i objektumok Descartes-szorzata P, hogyha h(P) objektumonként megegyezik a h(X_i)-k szorzatával, vagyis:

$\mathrm {Mor} (T,P)\cong \prod \mathrm {Mor} (T,X_{i})$

ahol $\cong$ a T-beli funktorok természetes ekvivalenciája. Ennek a természetes ekvivalenciának T = P esetén id_P-nek kell lennie, és hasonlóan a pr_i morfizmusokra: P → X_i. Ekkor a Yoneda-lemma szerint P kanonikus izomorfia erejéig egyértelmű: ha Mor(_,P) és Mor(_,Q) t szerint természetesen ekvivalens funktorok, akkor P és Q izomorfiáját t_P(id_P) biztosítja.

Ez a kategóriaszorzat univerzális a következő értelemben: adott f_i: T → X_i leképezések megjelennek az pr_i: P → X_i univerzális leképezésben, tehát létezik egy c: T → P leképezés, hogy T → P, így f_i = pr_i c.

Sőt, az így kapott konstrukcióknak képezhető a duálisa is, amit többnyire ko előtag jelöl. Ezek a duális kategóriákra alkalmazott ugyanilyen konstrukciók. Így például C kategória X_i objektumainak koszorzata ugyanaz, mint C duálisában az X_i elemek duálisainak szorzata.

Hasonlóan vihetők át tulajdonságok is: ha például az X → Y morfizmus monomorfizmus, ha h(X) → h(Y) objektumonként injektív.

Speciális általános konstrukciók:

• Szorzat és koszorzat
• Kezdeti objektumok és végobjektumok
• differenciamag és differenciakomag
• általános limeszek és kolimeszek
• injektív és projektív objektumok
• adjungált funktorok

Források

Bevezetés:

• F. W. Lawvere, Stephen Schanuel: Conceptual Mathematics. A first introduction to categories, Cambridge, 1997. ISBN 0-521-47817-0 (hardback ISBN 0-521-47249-0).
• Steve Awodey: Category Theory, Claredon Press, Oxford, 2006. ISBN 978-0-19-856861-2.
• Michael Arbib, Ernest G. Manes: Arrows, Structures and Functors. The Categorical Imperative, Academic Press, 1975.
• Hartmut Ehrig, Michael Pfender und Studenten der Mathematik und Informatik: Kategorien und Automaten, Walter de Gruyter, Berlin, New York, 1972. ISBN 3-11-003902-8 (Das Buch gibt in den Kapiteln 1, 3 und 5 eine in sich abgeschlossene Einführung in die allgemeine Kategorientheorie und in den Kapiteln 2, 4 und 6 wird die Automatentheorie mit kategoriellen Methoden entwickelt.)
• Samson Abramsky, Nikos Tzevelekos: Introduction to Categories and Categorical Logic

Klasszikus tankönyvek:

• J. Adámek, H. Herrlich, G.E. Strecker: Abstract and concrete categories. The Joy of Cats. John Wiley, 1990.
• Horst Herrlich, George E. Strecker: Category Theory: An Introduction. Boston 1973.
• Saunders Mac Lane: Kategorien: Begriffssprache und mathematische Theorie. Berlin 1972, vii, 295 pp. – (Categories for the Working Mathematician <1971, deutsch>) vergriffen engl. Ausgabe ISBN 0-387-98403-8
• Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician. 2nd ed., Springer, 1998. ISBN 0-387-98403-8
• Bodo Pareigis: Kategorien und Funktoren. B.G. Teubner, Stuttgart 1969.
• Horst Schubert: Kategorien I/II. Springer, 1970.

Kézikönyv:

• Francis Borceux: Handbook of categorical algebra. 3 vol (1: Basic category theory; 2: Categories and structures; 3: Categories of sheaves). – Cambridge 1994. (Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50/52) ISBN 0-521-44178-1, 0-521-44179-X, 0-521-44180-3

Gyűjtemény:

• W. Gähler, G. Preuss: Categorical Structures and their Applications. World Scientific, 2004. ISBN 981-256-053-X

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kategorientheorie című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.