Logikai művelet

Logikai műveletek alatt az ítéletkalkulus ítéletein definiált műveleteket értünk, amelyek segítségével az ítéletekből újabb, összetett ítéleteket alkothatunk. Az így képezett összetett ítéletek igazságértéke pedig egyértelműen meghatározható a kiindulási ítéletek igazságértékeiből.

A logikai művelet, mint általános fogalom, számtalan különféle néven fordul elő a szakirodalomban. A szerzők beszélnek pl. logikai függvényekről, igazságfüggvényekről, logikai operátorokról (ezek közé általában a kvantorokat is beleértve), vagy - ritkábban - junktorokról.

A legáltalánosabban használt logikai műveletek a negáció, a konjunkció, a diszjunkció, az implikáció és az ekvivalencia. A logikai műveleteket két nagy csoportba osztjuk: a formális logika és a szimbolikus logika. A formális logika célja a helyes következtetések levonása. A szimbolikus logika szimbólumokat használ:

• Igaz = i, felfelé mutató nyíl, 1, T
• Hamis = h, lefelé mutató nyíl, 0, F

Egyváltozós logikai műveletek

Négy egyváltozós logikai művelet van, hiszen attól függően, hogy a kiinduló állítás igaz vagy hamis, az eredmény is igaz vagy hamis lehet. tehát a kiinduló állítás igaz és hamis értékéhez is két lehetőség van, ami összesen 2 × 2 = 4 lehetőség.

A
	I	A	¬A	H
igaz	i	i	h	h
hamis	i	h	i	h

Az 1. művelet és a 4. művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek. Valódi egyváltozós művelet a 2. és a 3. (a 2. a függvényhez saját magát rendeli, a 3. pedig a negáltját).

Negáció

A negáció (tagadás) egyváltozós logikai művelet; egy állításhoz hozzárendel egy másik állítást, melynek igazságértéke az eredeti ellentettje.

Például: a "szeretem a kutyákat" állításhoz a "nem igaz, hogy szeretem a kutyákat" állítást rendeli hozzá. Fontos kiemelni, hogy a "szeretem a kutyákat" negáltja nem a "nem szeretem a kutyákat", hiszen az utóbbi csak a szeretet mértékét negálja. Holott, ha nem igaz, hogy "szeretem a kutyákat", akkor lehet, hogy nem szeretem őket, de az is lehet, hogy közömbös vagyok az irányukban.

A nem szócskával a negáció ellenkezőjére változtatja az állítás logikai értékét. A negáció (tagadás) jele: ¬ (olvasd: nem). A ¬A állítás akkor igaz, amikor az A állítás nem igaz, és akkor nem igaz, amikor az A állítás igaz.

Értéktáblázata:

A
	igaz	hamis
¬A	h	i

Kétváltozós logikai műveletek

16 kétváltozós logikai művelet van, ugyanis a kétváltozós logikai műveletek két állításhoz rendelnek hozzá egy harmadikat, a két kiinduló állítás mindegyike kétféle logikai értéket vehet föl, ami összesen 4 lehetőséget jelent:

igaz, igaz;

igaz, nem igaz;

nem igaz, igaz;

nem igaz, nem igaz;

A kiinduló állítás négy lehetősége mindegyikéhez az eredmény kétféle (igaz vagy hamis) lehet, ez összesen 2 × 2 × 2 × 2 = 16 lehetőség.

A | B

Kétváltozós logikai műveletek

1

A ∨ B

A → B

B

B → A

A

A ↔ B

A ∧ B

N

¬(A∨B)

¬(A→B)

¬B

¬(B→A)

¬A

¬(A↔B)

¬(A∧B)

igaz, igaz

i

i

i

i

i

i

i

i

h

h

h

h

h

h

h

h

hamis, igaz

i

i

i

i

h

h

h

h

h

h

h

h

i

i

i

i

igaz, hamis

i

i

h

h

i

i

h

h

h

h

i

i

h

h

i

i

hamis, hamis

i

h

i

h

i

h

i

h

h

i

h

i

h

i

h

i

A fent látható A és B állítással végezhető kétváltozós logikai műveletek értéktáblázata (a táblázatban i-vel jelöljük az igaz logikai értéket, h-val a hamis logikai értéket.

Az 1. művelet és a 9 művelet értéke mindenütt ugyanaz, vagyis ez a két művelet konstans függvény, ezek valójában nullaváltozós műveletek.

A 4., a 6., a 12. és a 14. egyváltozós műveletek.

Valóban kétváltozós műveletek a 2., a 3., az 5., a 7., a 8., a 10., a 11., a 13., a 15. és 16.

Konjunkció

Logikai és, jele ˄. Kétváltozós logikai művelet, az eredménye csak akkor igaz, ha A és B is igaz.

A | B
	hamis	igaz
hamis	h	h
igaz	h	i

Diszjunkció

Jele: v A vagy művelet ( Diszjunkció) akkor hamis ha mindkét részállítás hamis. A többi esetben viszont igaz. Logikai vagy (megengedő vagy). Kétváltozós logikai művelet, az eredménye akkor igaz, ha A vagy B vagy A és B igaz.

A | B
	hamis	igaz
hamis	h	i
igaz	i	i

Hivatkozások

• Dienes Zoltán: Building up Mathematics, Hutchinson Educational Ltd, (1960)
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)