Függvény (matematika)

Egy tipikus, intervallumon értelmezett valós függvény grafikonja a koordinátasíkon ábrázolva. $f$ : [-4;1,5] → R; x↦e^x(x²-x)

A függvény vagy más néven parciális (részleges) leképezés a matematika egy olyan absztrakt fogalma, mely a geometriai leképezések, elemi algebrai műveletek, folytonosan változó mennyiségek és hasonló, bemeneti értékekből egyetlen kimeneti értéket produkáló fogalmak általános leírására szolgál. Az $f$ függvény a $H$ halmaz – melyet az $f$ értelmezési tartományának nevezünk – minden egyes $x$ eleméhez egyetlen $y$ kimeneti értéket rendel. Hagyományosan ezt így jelölik:

$y=f(x)$, ahol $x\in H$ vagy

$f:x\mapsto y$, ahol $x\in H$

A függvény fogalmához szorosan hozzátartozik az az elv, hogy két függvényt akkor tekintünk egyenlőknek, ha értelmezési tartományuk ugyanaz és a közös értelmezési tartomány minden egyes $x$ eleméhez a két függvény ugyanazt az értéket rendeli.

Szabatos matematikai fogalmazásban, függvényen általában úgynevezett jobbról egyértelmű hozzárendelést értünk. A függvény fogalma tehát a reláció (más néven: hozzárendelés) fogalmának olyan speciális esete, melyben bármely adott dologhoz legfeljebb egy dolgot rendelünk hozzá.

Ha ezen felül megköveteljük azt is, hogy a függvény minden ilyen dologhoz legalább egy dolgot hozzárendeljen, azaz ha a reláció bármely adott dologhoz pontosan egy dolgot rendel hozzá, akkor függvény helyett totális függvényről (illetve parciális leképezés helyett relációról beszélünk).

Formális definíció

A mindennapi matematikai gyakorlatban alkalmazott informális függvényfogalmat (a bevezetőben lényegében erről beszéltünk) többféleképpen lehet szabatos formulákban megfogalmazni. Attól függően, hogy az alkalmazás inkább algebrai, analitikus, geometriai vagy matematikai logikai, a következő formális definíciókkal, egymástól néha fogalmilag is különböző értelmezésekkel találkozhatunk.

Első definíció

Ezt az alakot elsősorban a halmazelméletben és az analízisben használják.

A halmazelméletben függvényen rendezett párok olyan halmazát értjük, amiben első komponensként legfeljebb csak egyszer szerepelhet egy elem - az utóbbi, ún. egyértelműségi tulajdonság logikai formulában kifejezve:

$(\forall x)(\forall y_{1})(\forall y_{2})((x,y_{1})\!\in \!f\wedge (x,y_{2})\!\in \!f\;\Rightarrow \;y_{1}=y_{2})$

Értelmezési tartomány, értékkészlet

Ebben az esetben az $f$ függvény értelmezési tartománya:

$\{x\mid (\exists y)(\,(x,y)\in f)\,)\}$

halmaz, mely biztosan halmaznak tekinthető a részhalmaz-axióma miatt, hiszen része az $f$ rendezett párjai második komponenseinek halmazának.

Az értékkészlete:

$\{y\mid (\exists x)(\,(x,y)\in f\,)\}$;

mely a részhalmaz-axióma miatt tényleg halmaz. Gyakran találkozunk a következő szimbólumokkal:

$\mathrm {R} _{f}$, ${\mathcal {R}}_{f}$, $\mathrm {Ran} (f)$, $\mathrm {ran} (f)$, $\mathrm {Im} (f)$,

ahol a ran rövidítés a „range of function $f$” angol kifejezés rövidítése (hasonlóképpen az Im az „image of function $f$” az $f$ értékeinek halmazára utal).

Az értelmezési tartomány minden egyes $x$ eleméhez egyetlen olyan $y$ elem tartozik, melyre $(x,y)\in f$, mely egyértelműen létező $y$-t ebben az esetben is

$f(x)$

jelöli.

Második definíció

Legáltalánosabb esetben függvényen olyan $f=(A,B,\rho )$ rendezett hármast értünk, ahol $A$ és $B$ két halmaz, $\rho$ pedig olyan $\rho \subseteq A\times B$ reláció, hogy minden $x\in A$ elemre legfeljebb egyetlen olyan $y\in B$ létezik, melyre $x\rho y$ teljesül.

Ekkor az $A$-t alaphalmaznak vagy kiindulási halmaznak, a $B$-t képhalmaznak vagy érkezési halmaznak nevezik. $f$ értelmezési tartományán a $\rho$ értelmezési tartományát értik, azaz az $A$ azon részhalmazát, melynek minden $x$ eleme esetén pontosan egy olyan $y\in B$ található, hogy $x\rho y$, azaz melyre $\rho$-t leszűkítve az balról totális reláció lesz. $f$ értékkészletén a $\rho$ értékkészletét értik, azaz azon $y\in B$ elemek halmazát, melyre létezik $x\in A$, hogy $x\rho y$.

Ha az így megadott $f$ függvény esetén az $f$ értelmezési tartománya nem esik egybe az alaphalmazával, akkor azt mondjuk, hogy $f$ parciális vagy parciálisan értelmezett függvény. Ellenkező esetben totális függvényről beszélünk.

Harmadik definíció

Ez a definíció általában az algebrára, a geometriára és a konkrét kategóriák elméletére jellemző. Ekkor a függvény egy speciális relációs struktúra.

Az f függvény olyan (A, B, ρ) rendezett hármas, ahol A és B egy-egy halmaz, ρ pedig olyan A × B-beli reláció, melyre teljesül, hogy minden egyes A-beli x-hez pontosan egy olyan B-beli y van, melyre x ρ y. Ekkor tetszőleges x ∈ A elemhez az f által egyértelműen rendelt elemet f(x)-szel jelöljük.

Értelmezési tartomány

Ha (A, B, f) egy, a fenti értelemben vett függvény, akkor az A halmazt az értelmezési tartományának, definíciós tartományának nevezzük. Jelölése nem egységes, a leggyakrabban a következők fordulnak elő:

${\mathcal {D}}_{f}$, $\mathbf {D} _{f}$, $\mathrm {D} (f)\,$, $\mathbf {Dom} (f)$, $\mathbf {dom} (f)$.

A Dom(f) jelölés az angol „definition domain of function f” (az f értelmezési tartománya) kifejezés rövidítéséből származik.

Érkezési halmaz

Az (A,B, f) függvény esetén a B halmaz az f függvény érkezési halmaza, melyet a fenti definíció esetén az f függvény egyértelműen meghatároz. Ha jelölik valahogy, leggyakrabban a

$\mathrm {Codom} (f)\,$

jelölést használják, az angol „codomain of function f” kifejezés rövidítéseként (ez hasonló a kovektor és koszorzat latin eredetű kifejezésekhez, egyfajta megfordított irányt jelöl).

Értékkészlet

Egy $(A,B,f)$, a második konvencióban definiált függvény $B$ érkezési halmaza nem tévesztendő össze az értékkészlettel, mely az

$\{f(x)\in B\mid x\in A\}$

halmaz.

Azt, hogy $f$ egy olyan függvény, melynek értelmezési tartománya $A$, az értékkészlete pedig része a $B$ halmaznak, a következőképpen jelöljük:

$f:A\rightarrow B$

Egy $f:A\rightarrow B$ függvény tehát az $A$ halmaz minden egyes $x$ eleméhez hozzárendel egy $B$-beli $f(x)$ értéket.

A logikai grammatika függvényfogalma

A fenti definíciók szemlélete a halmazelméleti realizmus talaján áll. Ám, a függvényfogalom bevezethető a Frege és Hilbert által javasolt módon is, mely az informális matematika nyelvi elemzését veszi alapul. Eszerint egy függvény nem más, mint egy egyváltozós névfunktor, tehát mely egy individuumnévből nevet alkot. (A matematikai logikában ezen kívül a függvénynek nevezik a több-bemenetű névfunktorokat is, azaz a műveleteket.) Egy ilyen névfunktor például a csoportelmélet formális nyelvében az elem inverzének képzése (a⁻¹) és az aritmetikában a természetes számok rákövetkezési operátora ( s(a) ).

Példák

Példaként említünk az algebra, a geometria és az analízis egy-egy függvényét:

• Legyen abs: z $\mapsto$ |z|, ahol z ∈ C. Ez a függvény a z komplex számhoz abszolút értékét, vagy hosszát adja, mely egy nemnegatív valós szám: $|z|=|a+bi|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$.
• Legyen T_t a sík egy adott t tengelyére történő tükrözése. Ekkor a T:P $\mapsto$ P' függvény egy geometriai leképezés, a sík egy tetszőleges P pontja esetén P' =T(P) a P pont t-re vonatkozó tükörképe.
• exp: x $\mapsto$ e^x, a természetes alapszámú exponenciális függvény, ahol tehát az alap az e Euler-féle szám.

A függvények osztályzása

Az ismeretlenek száma szerint

Az ismeretlenek száma szerint beszélünk egyváltozós, kétváltozós, illetve többváltozós függvényről.

Itt megjegyezzük, hogy ez a fogalom a matematika elterjedt, sztenderdnek tekinthető halmazelméleti felépítésében pusztán technikai, ill. formai jellegű. A valós számok halmazán értelmezett valamely kétváltozós függvényt - pl. f(x,y)=x+y - lényegében egyváltozósnak is tekinthetjük, amely értelmezési tartománya a valós számok halmazának Descartes-szorzata önmagával, az értékkészlete pedig a valós számok halmaza.

Az alaphalmaz szerint

• Valós függvény
• Komplex függvény
• Geometriai leképezés
• Vektorterek leképezése

stb.

A műveletekkel való kifejezhetősége szerint

• Algebrai függvény
• Racionális egész függvény
• Racionális törtfüggvény
• Racionális függvény
• Transzcendens függvény
• Exponenciális függvény
• Trigonometrikus függvények
• Abszolútérték-függvény
• Hiperbolikus függvények

vagy például

• Izometrikus leképezés
• Affin transzformáció
• Inverzió
• Hasonlósági leképezés
• Elsőfokú racionális egész függvény
• Másodfokú racionális egész függvény
• Harmadfokú racionális egész függvény

(itt megjegyzendő, hogy ez az osztályozás nem teljes és rendszerezésre vár)

Függvények megadása

Egy f függvényt akkor tekintünk adottnak, ha adott

• értelmezési tartománya és
• az értelmezési tartomány minden x eleme esetén az ehhez rendelt f(x) érték – ezt a hozzárendelési utasításnak nevezzük.

Ezek már meghatározzák az értékkészletet, ám nem határozzák meg a függvény érkezési halmazát. Ha a függvény fogalmát a fenti, algebrai szemléletben definiáljuk, akkor ezeken kívül még meg kell adnunk az érkezési halmazát is.

A hozzárendelést egy

$y=f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;x\in H\;\;(y\in K)$

vagy

$f:H\rightarrow K;\;x\mapsto f(x)$

alakban adott szimbólumsorral jelöljük. (Az utóbbi jelölésben a hozzárendelést leggyakrabban „talpasnyíllal” jelölik.) A H halmaz az értelmezési tartomány, vagyis amilyen értékeket a formula x változója helyére helyettesíthetünk, a K az érkezési halmaz, azaz amilyen értékeket a függvényérték, azaz f(x) felvehet.

Például:

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto \sin \,x$

Néha megengedjük az értelmezési tartomány helyett egy azt tartalmazó bővebb halmaz megadását, azzal a kimondatlan kiegészítéssel, hogy az értelmezési tartomány az a részhalmaz, amire a hozzárendelési utasításban szereplő kifejezések értelmezve vannak. Ez akkor célszerű, ha már az is komoly vizsgálatot igényelne, hogy megmondjuk, milyen elemekre végezhetők el a hozzárendelési utasításban szereplő műveletek. Néha, ekkor a nyíl „kiindulási halmaz” felőli végére egy részhalmaz jelet teszünk. Például:

$f:\mathbb {R} \supset \!\rightarrow \mathbb {R} ;\;x\mapsto {\frac {x}{x-\mathrm {tg} \,x}}$

A hozzárendelési utasítás megadásának eddigi, tehát y = f(x) formáját explicitnek nevezzük és azt mondjuk, hogy a függvényt explicit módon adott. Az y = f(x) formális egyenlőséget egy y-ra nem rendezett $\Omega (x,y)=0$ (implicit) egyenlettel sokszor egyszerűbb megadni. Ekkor azt mondjuk, hogy a függvény implicit módon adott. Az implicit megadásnál azonban ügyelnünk kell arra, hogy ekkor a függvény nem feltétlenül egyértelmű.

Lásd még: implicitfüggvény-tétel.

Függvények relációalgebrája

• Fő szócikk: Függvények relációalgebrája

A relációkalkulusból átöröklött tulajdonságok definiálhatóak és vizsgálhatóak függvények esetében is. A legfontosabbak a balról totalitás (szürjektivitás), a jobbról egyértelműség (injektivitás) és a kölcsönösen egyértelműség vagy bijektivitás.

Hasonlóan, a bináris relációkra értelmezett halmazelméleti (unió, metszet, különbség, megszorítás) és algebrai (szorzás v. kompozíció; invertálás stb.) műveletek is értelmezhetőek - lényegi változtatás nélkül - és vizsgálhatóak függvényekre is.

Pontonkénti műveletek

Ha adott egy H halmaz, melyen értelmezett egy * művelet, akkor egy A halmazból a H-ba képező függvények körében értelmezhető a pontonkénti művelet a következőképpen:

$f*g:A\rightarrow H;x\mapsto f(x)*g(x)$

melynek ugyanolyan algebrai tulajdonságai vannak, mint a * műveletnek. Például az R $\rightarrow$ R függvények körében értelmezhető az f + g összeg, az f $\cdot$ g szorzás, és a fenti definíció csekély módosításával a λf számmal való szorzás és az f/g osztás (g nemnulla értékű helyeire).

Valós értékű függvények nevezetes pontjai

A H halmazon értelmezett, R-be képező f függvénynek az a ∈ H pontban

• abszolút minimuma van, ha minden x ∈ H-ra f(a) ≤ f(x); ekkor a minimumérték az f(a);
  • lokális minimuma van, ha H topologikus tér és létezik a-nak olyan V ⊆ H nyílt környezete, hogy az f|_V leszűkítésnek abszolút minimumhelye a;
• abszolút maximuma van, ha minden x ∈ H-ra f(x) ≤ f(a) ; ekkor a maximumérték az f(a);
  • lokális maximuma van, ha H topologikus tér és létezik a-nak olyan V ⊆ H nyílt környezete, hogy az f|_V leszűkítésnek abszolút maximumhelye a.
• zérushelye van, ha f(a) = 0;
• stacionárius pontja van, ha H normált tér, f differenciálható az a egy nyílt környezetén és a differenciálja ott nulla: df(a)=0.

A minimum- vagy maximumértéket együttesen szélsőértéknek, azok abszcisszáját szélsőértékhelynek nevezzük.

Függvényterek mint struktúrák

A függvények abból a szempontból is alapvető matematikai fogalmak, hogy számos elmélet konkrét megvalósítását függvények halmazaiban láthatjuk. Például

• a sorozatok tekinthetők a természetes számok halmazán értelmezett függvényeknek
• az n×k-as mátrixok tekinthetők az {1,…,n}×{1,…,k} Descartes-szorzaton értelmezett függvények halmazának
• a logikai relációk megfeleltethetők az {igaz, hamis} halmazba képező függvényeknek
• egy vektortér duális tere nem más, mint a vektortérből az alaptestbe ható függvények halmaza

és még számos példa hozható fel, amikor absztrakt matematikai tereket függvények halmazaival azonosítanak.

Kapcsolódó szócikkek

• Injektív függvény
• Szürjektív függvény
• Bijektív függvény
• Lineáris függvény
• Üres függvény

További információk

Érdekes grafikonú függvények a Wolfram World-ön:

• szívgörbe,
• pillangógörbe és
• hal függvény

Források

• Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
• Balázs Márton, Kolumbán József: Matematikai analízis, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár-Napoca (1978)
• Mathworld