Reciprok

A reciprokfüggvény képe hiperbola.

A matematikában egy nullától különböző szám reciprokának vagy multiplikatív inverzének azt a számot nevezik, amivel a számot szorozva az eredmény 1. A reciprok fogalma értelmezhető a racionális, a valós és a komplex számok körében egyaránt. A reciprok szó latin eredetű, és kölcsönösségre utal.

Ha a számot x jelöli, akkor a reciproka 1/x, azaz 1 osztva x-szel, vagy másképp x^–1, azaz x a mínusz egyedik hatványon. Egy szám reciprokának reciprokát véve visszakapjuk az eredeti számot. Tört formában felírt racionális szám esetében a számláló és a nevező felcserélésével egyszerűen megkapható a reciprok.

Speciális számok

A nullának semmilyen számkörben sem értelmezhető véges reciproka, ugyanis bármely számot nullával szorozva az eredmény nulla lesz. Ezért nincs olyan szám, amit nullával szorozva egyet kapnánk. A nullaszor végtelen szorzás eredménye nem egyértelmű.

A reciprok fogalmához hasonló az additív inverz, az ellentett. A valós számok körében az ellentett és az inverz mindig különböző számok. A komplex számok halmazában azonban vannak olyan számok, amiknek megegyezik az ellentettjük, és a reciprokuk: ezek éppen a képzetes egységek, a ±i.

Negatív kitevős hatványok

A permanenciaelv szerint a negatív kitevős hatványok a reciprok pozitív hatványaiként értelmezhetők, ugyanis így lehet megőrizni a hatványozás azonosságait. Így

$a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}\,$

mivel

$a^{b}\cdot c^{b}={(a\cdot c)}^{b}\,$

$a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}$

$a^{b-c}={a^{b} \over a^{c}}\,$

$a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}=\left(a^{c}\right)^{b}\,$

$a^{\left(b^{c}\right)}\neq \left(a^{b}\right)^{c}\,$

$\left({\frac {a}{b}}\right)^{c}={a^{c} \over b^{c}}\,$

és

$\ (x^{i}x^{j})x^{k}=x^{i}(x^{j}x^{k}),$

Általánosítása

A reciproknak megfelelő általánosabb fogalom félcsoportok, csoportok és gyűrűk esetén a multiplikatív inverz, azaz a „szorzás” műveletére vett inverz elem, amivel „szorozva” a művelet egységelemét kapjuk. Ha létezik ilyen elem, akkor az eredeti elemet invertálhatónak nevezik, ha pedig minden elem invertálható, akkor a műveletet is invertálhatónak mondják.

Példák:

• Az egész számok közötti szorzást tekintve csak az 1-nek és a -1-nek van inverze (önmaguk), ugyanis az 1-en és -1-en kívül egyetlen egészhez sincsen olyan másik egész, hogy szorzatuk az 1-et adná.
• A maradékosztályok gyűrűjében éppen azok az elemek invertálhatók, amik a modulushoz relatív prímek. Ezek a maradékosztályok a redukált maradékosztályok.
• A szögfüggvények közül a szinusz és a koszekáns, a koszinusz és a szekáns, a tangens és a kotangens egymás reciproka minden olyan helyen, ahol az egyes párok mindkét tagja értelmezve van. Ezt a kapcsolat nem tévesztendő össze a trigonometrikus függvények inverz függvényeivel, az árkuszfüggvényekkel.
• A racionális, a valós és a komplex számok esetében (külön-külön tekintve őket) a nulla kivételével minden elemnek van inverze.
• Egy csoport összes eleme invertálható a csoport asszociatív szorzás műveletére nézve. Ezért az invertálást sokszor egy változós műveletként tekintik.

A nem kommutatív algebrai struktúrákban még nagyobb az inverz jelentősége, mert ott a jobbról és a balról osztás helyett az inverzzel való szorzást használják.

Kapcsolódó szócikkek

• Ellentett, az összeadásra vett (additív) inverz

Források

• Hajdu Sándor: Matematika 6., Műszaki Kiadó
• Kovács Zsongorné, Sz. Földvári Vera, Szeredi Éva: Matematika általános iskola 7., Műszaki Kiadó
• Kosztolányi József, Kovács István, Pintér Klára, Dr. Urbán János, Vincze István: Sokszínű matematika 9., Mozaik Kiadó
• Bárczy Barnabás: Trigonometria
• Pósa Lajos: Összefoglalás, Műszaki Kiadó
• Hajnal Imre: Matematika III., Tankönyvkiadó
• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába
• Császár Ákos: Valós analízis, Tankönyvkiadó
• Freud–Gyarmati: Számelmélet