Differenciálegyenlet

A differenciálegyenletek olyan egyenletek a matematikában (közelebbről a matematikai analízisben), melyekben az ismeretlen kifejezés egy differenciálható függvény, és az egyenlet a függvény és ennek deriváltja között teremt kapcsolatot. A problémák differenciálegyenletben való megfogalmazása a fizikában, mérnöki tudományokban, a közgazdaságtanban és még számos tudományban alapvető szerepet tölt be.

Egy rugóval rögzített test elmozdulását az időben (ha az energiaveszteségtől eltekintünk) egy ${\ddot {x}}(t)=-x(t)$ típusú egyenlet írja le. Ennek megoldása például az $x=\sin(t)\,$ és a $x=\cos(t)\,$ függvény is

Hogy mennyire fontosak az alkalmazásaikban a differenciálegyenletek, jól példázza Newton második törvénye. Ez nem mond ki mást, mint, hogy az elmozdulás idő szerinti második deriváltja egyenesen arányos az erővel. Ha az erő minden pillanatban csak a test helyzetétől függ, akkor ez a differenciálegyenlet így írható:

${\ddot {x}}(t)=mx(t)$

ahol az ismeretlen függvény az x(t), ennek t szerinti második deriváltja az ${\ddot {x}}(t)$.

A differenciálegyenletek nem kizárólag akkor jutnak szerephez, ha az időben folyamatosan változnak az állapotjelzők értékei, hanem olyan diszkrét (elkülöníthető lépésekben lezajló) folyamatok esetében is (mint mondjuk egy sakkjátszma, vagy a természetben élőlénypopulációk növekedése), amikor a folyamat meghatározó állapotjellemzőinek folytonosként való kezelése tömegméretekben kielégítő helyességgel írja le a folyamatot. Egy mennyiség és megváltozásának kapcsolatára vagy megfigyelések utalnak, vagy feltételeznek egy elméleti relációt a jellemzők között. Például a növekedés általában függ magától a populáció nagyságától – ez egy közvetlenül a tapasztalatból származó modell. A bolygómozgás differenciálegyenletei viszont a newtoni mechanikából eredeztethetők.

Általában egy (közönséges) differenciálegyenlet megoldását az y=y(x) alakban írjuk fel (szóban: y az x függvénye). Az egyenletben az y(x) jelölés helyett inkább csak az y-t használjuk. Feltesszük azonban, hogy y egy valós intervallumon értelmezett, legalább annyiszor differenciálható függvény, ahányadik deriváltja szerepel az egyenletben. Például az

$y'={\frac {1}{2y}}\,$

egy megoldása a (0,+∞)-en értelmezett (és ott differenciálható) $y(x)={\sqrt {x}}\,$ függvény, egy másik a (2,+∞)-n értelmezett $y(x)={\sqrt {x-2}}\,$ függvény.

Az egyenleteket kielégítő megoldásfüggvények csak a legegyszerűbb esetekben fejezhetők ki zárt alakban. Sok esetben szükségtelen is kiszámolni a konkrét megoldásokat, sokkal többet tudhatunk meg a folyamatokról, ha a megoldások kapcsolatait vizsgáljuk. Más esetben szükséges kiszámítani a megoldás konkrét értékeit. Mindkét feladatra számítógépes módszereket használnak, az első inkább kvalitatív, míg a második kvantitatív eredményt szolgáltat.

Differenciálegyenlet-típusok

• Közönséges differenciálegyenlet. Ebben az esetben az egyenlet egy egyváltozós differenciálható függvényre van felírva. Például:

$y'(x)=\sin(xy(x))\quad \quad (y(x)=?)$

$x''(t)=-x(t)\quad \quad (x(t)=?)$

az utóbbi a lineáris oszcillátor egyenlete (pl. az ideális rugó, ideális rezgőkör stb.).

• Parciális differenciálegyenlet. Ekkor az ismeretlen függvény többváltozós és az egyenletben szereplő deriváltjai parciális deriváltak. Például:

${\frac {\partial z(x,y)}{\partial x}}+x{\frac {\partial z(x,y)}{\partial y}}=x^{7}\cdot y^{4}\quad \quad (z(x,y)=?)$

$\partial _{t}S(t,x)+H(t,x,\partial _{x}S(t,x))+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\partial _{xx}^{2}S(t,x)=0\quad \quad (S(t,x)=?)$

az utóbbi a sztochasztikus Hamilton–Jacobi–Bellman-egyenlet.

• Algebro-differenciálegyenlet. A differenciálegyenlet mellett a megoldásnak az algebrai mellékfeltételeknek is eleget kell tennie.
• Késleletett differenciálegyenlet. Itt az ismeretlen és deriváltja mellett azok időbeli eltoltjai is szerepelnek.

Példa a populációdinamikából:

${\dot {x}}=-\mu x(t)+\alpha px(t-\tau )$

• Integro-differenciálegyenletek. Deriválás mellett integrálok is szerepelnek.

Erre példa az impulzusra felírt Schrödinger-egyenlet

A különböző alkalmazási területeken további típusok is felmerülhetnek.

Közönséges differenciálegyenletek típusai

• n-edrendűnek nevezzük a differenciálegyenletet, ha a benne szereplő magasabbrendű deriváltak között az n-edik a legnagyobb. Például:

$y'(x)=\mathrm {sh} (x)+y^{2}(x)\,$ elsőrendű,

$y''(x)+y^{3}(x)y'(x)=\mathrm {tg} (x)\,$ másodrendű,

$y^{(4)}+7y=0\,$ negyedrendű.

• lineáris egy differenciálegyenlet, ha y (az ismeretlen függvény) és deriváltjai legfeljebb az első hatványon szerepelnek, és nem szerepel az egyenletben ilyen tényezők szorzata. Példa:

$\sin(x)y'(x)+x^{2}y(x)+{\sqrt {x}}=0\,$ elsőrendű lineáris,

$e^{x}y''(x)+(x^{4}-x)y'(x)-{\frac {x+1}{x^{3}}}y(x)+\cos(x)=0\,$ másodrendű lineáris.

• nemlineáris, ha nem lineáris. Példa:

$\mathrm {ctg} (x)y''(x)+x^{2}y(x)y'(x)=8\,$,

$y''(x)=e^{\cos(xy^{2}(x))y(x)}\,$

Bernoulli-féle differenciálegyenlet

A Bernoulli-féle differenciálegyenlet

$y'+p(x)y=r(x)y^{n}\,$ (n ≠ 0,1) (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, nemlineáris differenciálegyenlet.

Riccati-féle differenciálegyenlet

A Riccati-féle differenciálegyenlet

$y'+p(x)y=r(x)y^{2}+h(x)\,$ (1)

közönséges, egyismeretlenes, elsőrendű, legfeljebb másodfokú differenciálegyenlet. Speciális esetei a lineáris és a Bernoulli-féle differenciálegyenletek.

Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet

Az Euler-féle lineáris másodrendű differenciálegyenlet egyismeretlenes, másodrendű közönséges differenciálegyenlet-típus:

$x^{2}y''+a_{1}xy'+a_{2}y=r(x)\,$ (1)

ahol $a_{1}\,$ és $a_{2}\,$ állandók.

Közönséges, lineáris differenciálegyenletek típusai

• homogén lineáris differenciálegyenlet (függő változóban homogén), ha lineáris, de nincs benne sem kizárólag az x-től függő sem konstans tag. Példa:

$\sin(x)y'(x)-e^{x}y(x)=0\,$ elsőrendű homogén lineáris,

$x^{3}y''(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=0\,$ másodrendű homogén lineáris.

• inhomogén lineáris differenciálegyenlet, ha van benne konstans, vagy x-től függő tag. Példa:

$\sin(x)y'(x)-e^{x}y(x)=\mathrm {tg} (x)\,$ elsőrendű inhomogén lineáris,

$x^{3}y''(x)+{\frac {1}{x}}y(x)=x^{2}+5\,$ másodrendű inhomogén lineáris.

• állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenlet, ha az y és összes deriváltja együtthatója konstans. Példa:

$3y'-7y=0\,$ elsőrendű állandó együtthatós homogén lineáris,

$9y''(x)+4y'(x)=5x^{12}\,$ másodrendű állandó együtthatós inhomogén lineáris.

Differenciálegyenletek megoldása

Differenciálegyenletet megoldani annyit tesz, mint meghatározni azokat a függvényeket, melyek a deriváltjaikkal együtt azonosan kielégítik az adott differenciálegyenletet. Ezeket a függvényeket tekintjük a differenciálegyenlet megoldásainak. Mivel a differenciálegyenletet általában integrálással oldjuk meg, a megoldást szokás a differenciálegyenlet integráljának is nevezni.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet általános megoldása az a függvény, mely pontosan n számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet partikuláris megoldása az a függvény, mely legfeljebb n-1 számú egymástól független állandót (paramétert) tartalmaz, és azonosan kielégíti az adott differenciálegyenletet. Speciális esetben egyetlen paramétert sem tartalmaz a partikuláris megoldás. Általában (de nem mindig) az általános megoldás tartalmazza az összes partikuláris megoldást is, melyet úgy kaphatunk, hogy a paramétereknek konkrét értékeket adunk. A differenciálegyenlet partikuláris megoldásának kiválasztásához feltételeket kell megadni. Egy n-edrendű közönséges differenciálegyenlethez meg lehet adni a független változó egy adott értékéhez tartozó függvényértéket, az első, második, …, (n-1)-edik derivált értékét. Ezeket nevezzük kezdeti feltételnek. Amennyiben mind az n számú adatot megadjuk, a partikuláris megoldás nem fog paramétert tartalmazni.

Az n-edrendű közönséges differenciálegyenlet egy partikuláris megoldását úgy is ki lehet választani, hogy legfeljebb n számú összetartozó (t, x(t)) értéket adunk meg, amit az x(t) partikuláris megoldásnak ki kell elégítenie. Ezeket nevezzük kerületi, illetve határfeltételeknek. Ha pontosan n számú kerületi feltételt adunk meg, a partikuláris megoldásban nem lesz paraméter.

Az elsőrendű $F(x,y,y')=0$ közönséges differenciálegyenlet $\phi (x,y,c)=0$ általános megoldása az x, y síkban egy egyparaméteres görbesereget határoz meg. Az itt megadható $y_{1}=y(x)$ kezdeti feltétel geometriailag egy $P_{1}(x_{1};y_{1})$ pont megadását jelenti, és így az egy kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldás a görbeseregnek azt a görbéjét jeleni, amely áthalad az adott $P_{1}$ ponton.

A másodrendű $F(x,y,y',y'')=0$ közönséges differenciálegyenlet $\phi (x,y,A,B)=0$ általános megoldása az x, y síkban egy kétparaméteres görbesereget határoz meg. Ebben az esetben a kezdeti feltétel geometriai jelentése egy $P_{1}(x_{1};y_{1})$ pont és azon pontban a partikuláris megoldás érintője.

Megoldási módszerek

• A változók szeparálása – az y'=F(x,y) közönséges esetben akkor beszélünk a szeparábilis vagy szétválasztható változójú egyenletről, ha F előáll F(x,y)=f(x)g(y) szorzat alakban. Parciális differenciálegyenlet esetén a változók szeparálásán azt értjük, hogy a z=z(x,y) megoldásfüggvényt a z=f(x)g(y) alakban keressük – ekkor az egyenlet szeparábilis megoldásait kapjuk meg.
• Egzakt differenciálegyenlet – akkor mondjuk az elsőrendű egyenletről, hogy egzakt, ha P(x,y)dx+ Q(x,y)dy=0 alakú, és ∂P/(∂y)=∂Q/(∂x). Ekkor az implicit általános megoldás Φ(x,y)=konst., akkor és csak akkor, ha ∂Φ/(∂x)=P és ∂Φ/(∂y)=Q.

Források

1. Scharnitzky Viktor: Differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1975
2. Obádovics J. Gyula: Matematika, Scolar Kiadó, 1994