Egyenlet

Egy igen korai (talán az első) ismert egyenlet, melyet az európai kultúrkörben felírtak, Robert Recorde The Whetstone of Witte c. értekezéséből (1557). Mai jelölésekkel átírva az egyenletet: $14x+15=71$, megoldása 4.

Az egyenlet a matematikában egyenlőségjellel összekapcsolt két kifejezés. A két kifejezést az egyenlet bal és jobb oldalának nevezzük. Az egyenlet az algebra, sőt az egész matematika egyik legfontosabb fogalma.

Például

$3|x|+1=2$

egy egyszerűbb egyenlet, melynek bal oldala a „3 × |x| + 1” kifejezés, jobb oldala pedig az egyetlen számból álló „2” kifejezés. Az ismeretlenek előtt álló állandó szorzókat gyakran az egyenlet együtthatóinak nevezzük.

Mint ahogy a kifejezések, ebből következően az egyenletek is többnyire (bár nem kötelezően) változókat vagy határozatlan mennyiségeket is tartalmaznak, melyeket ismeretleneknek nevezünk (a fenti példában az „$x$” az ismeretlen).

Az egyenletek, ill. egyenlőtlenségek többnyire kétféle alapvető helyzetben szoktak előkerülni:

1. Egy, akár elméleti, akár gyakorlati probléma megfogalmazása során számszerű összefüggéseket sikerül feltárni a problémával kapcsolatos legfontosabb mennyiségeket leíró változók között, és a probléma valamely paraméterek konkrét értékének megkeresését igényli (például mennyi festékmennyiség kell adott területű fal lefestéséhez). Ez tipikusan a matematika alkalmazásának szituációja. Ilyenkor az egyenletek megoldásán van a hangsúly.
2. Inkább elméleti igényű az a feladat, amikor valamilyen - nem feltétlenül absztrakt - struktúra általános, mennyiségi jellegű leírása a cél. Például a mechanikai testek mozgása mozgásegyenletekkel, a hővezetés differenciálegyenletekkel stb. írható le a fizikában, a matematikában pedig a geometriai alakzatok adhatóak meg egyenletekkel (pl. egy origó középpontú, 1 sugarú kör egyenlete $x^{2}+y^{2}=1$). Ilyenkor az egyenletek által leírt összefüggések egyrészt akár fontosabbak is lehetnek, mint a megoldásuk, másrészt a megoldás folyamata meg is fordulhat (például egy parabola egyenletét felírva, a megoldáshalmaz adott, és ehhez kell egyenletet keresni).

Ha mást nem mondunk, akkor az egyenletekben szereplő műveleti jelek és függvényjelek a valós vagy komplex számokon értelmezett szokásos műveletek és függvények, a számok valós ill. komplex számok, és az ismeretlenek értéke is valós vagy komplex. Azonban természetesen más struktúrákban is értelmezhető az egyenlet fogalma (amint ezt a hővezetés differenciálegyenleteinek példája is mutatja). Az egyenlet értelmezése és megoldása függ az illető alaphalmaztól, melyben értelmezve van.

Például a $6x=2$ egyenletnek egészen más a jelentése és a megoldása, ha

1. az egész számokon
2. a valós számokon
3. a $\mathbb {Z} _{10}$ maradékosztály felett értelmezzük.

Ugyanis az első esetben nincs megoldás, a második esetben egy megoldás van, $x={\frac {1}{3}}$, a harmadik esetben két megoldás van: $x_{1}=2$ és $x_{2}=7$).

Egy egyenletnek tehát csak adott struktúrán belül van jelentése.

A megoldás vagy gyök fogalma

Az egyenlet megoldásán az ismeretlen(ek) mindazon értékeinek meghatározását értjük, amelyeket behelyettesítve az egyenletbe, annak két oldala egyenlővé válik. Ezeket az értékeket az egyenlet megoldásainak vagy gyökeinek nevezik.

Például a fenti 3|x|+1 = 2 valós együtthatós egyenletnek két megoldása van, 1/3 és -1/3.

Mindazonáltal nem minden egyenlet tartalmaz ismeretlent. Például a

$2(x+1)=2x+2$

egyenletet a szokásos módszerek szerint: a zárójel felbontásával és a mérlegelv alkalmazásával megoldva,

${\begin{aligned}2x+2&=2x+2&/-2\\2x&=2x&/-2x\\0&=0\\\end{aligned}}$

egyenlethez juthatunk. Ez utóbbi felfogható akár „nullismeretlenes” egyenletnek is (noha a szakirodalom nem szokta alkalmazni ezt a kifejezést). Az is látható, hogy az ekvivalens átalakítások akár csökkenthetik is ismeretlenek számát.

Az egyenlet megoldása és gyöke között különbség tehető, mint a következőkben le van írva:

Az $x^{2}-6x+9=0$ egyenletnek egy megoldása van, a $3$, de két gyöke, amit a másodfokú egyenlet megoldóképlete ad :  $x_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$  és  $x_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$  gyanánt. A két gyök azonos (egybeesik), mert a diszkrimináns zéró.

Az egyenlet megoldáshalmaza az a halmaz, amelynek elemei az egyenlet megoldásai. Az egyenlet megoldásai az egyenlet azon gyökei, amelyek elemei az egyenlet értelmezési tartományának.

Két egyenlet ekvivalens, azaz egyenértékű, ha egyenlő a megoldáshalmaza és az értelmezési tartománya.

Egyenletek osztályzása

Az ismeretlenek száma szerint

Az ismeretlenek száma szerint beszélünk egyismeretlenes, kétismeretlenes, illetve többismeretlenes egyenletről.

Az alaphalmaz szerint

Azzal a megállapítással összhangban, miszerint egy egyenletnek csak adott struktúrán belül van értelme, az egyenleteknek sokszor alaphalmazt adunk meg, melyben a megoldásokat keressük. Ez számtalanféleképp lehetséges, de a gyakorlatban elkülöníthető néhány fontos alaptípus és elnevezés:

1. diofantoszi egyenletek: egész együtthatós egyenletek, melyek megoldásai egész számok;
2. komplex (változós vagy együtthatós) egyenletek: együtthatóik és megoldásaik komplex számok;
3. függvényegyenletek: függvényváltozókat tartalmaznak, vagyis megoldásaik - általában valós-valós - függvények. Speciális esetük a differenciál- és az integrálegyenletek. Nevezetes függvényegyenlet (a parciális differenciálegyenletek közé tartozó) pl. a Schrödinger-egyenlet.
4. mátrixegyenletek: az együtthatók és a megoldások mátrixok.

A megoldhatóság szerint

Ha egy egyenletnek az alaphalmaz minden eleme megoldása, azonosságnak nevezzük, ha viszont egyáltalán nincs megoldása az alaphalmazon, ellentmondásnak. Ha van legalább egy megoldása, megoldhatónak nevezzük.

A műveletekkel való kifejezhetősége szerint

Legyen adott egy matematikai struktúra az A halmaz felett. Az A-ból A-ba képező valamely f függvény vagy kifejezhetőek az adott struktúra nyelvén (azaz csak a struktúrabeli műveleteket, az „alapműveleteket” tartalmazó, algebrai kifejezésekkel), vagy nem. Az előbbi esetben az f függvényt algebrainak nevezzük a struktúra felett, míg az utóbbi esetben transzcendensnek. Ilyen például az abszolútérték-függvény vagy a trigonometrikus függvények a valós számtest felett.

Az alsó- és középfokú oktatásban a valós számok körében gyakran előforduló egyenlettípusok:

• Algebrai egyenlet
  • Lineáris v. elsőfokú egyenlet
  • Másodfokú egyenlet
  • Harmadfokú egyenlet
• Transzcendens egyenlet
  • Abszolútértékes egyenlet
  • Exponenciális egyenlet
  • Trigonometrikus egyenlet

stb.

Megoldási eljárások

Az egyes egyenletek megoldási módszerei egyenlettípustól függően nagyon különbözhetnek. Nemcsak egy differenciálegyenlet megoldásának menete különbözhet nagyon egy diofantosziétól, de már a legegyszerűbb valós együtthatós egyismeretlenes első- és másodfokú egyenletek megoldása is általában másféle gondolkodási műveleteket igényel.

Az egyenletek megoldásával kapcsolatos legfontosabb fogalmak: mérlegelv, megoldóképlet, közelítő megoldás.

Nevezetes, egyenletformában is megfogalmazható, geometriai eredetű problémák, melyeknek nincs megoldása, a körnégyszögesítés, kockakettőzés, illetve a Nagy Fermat-tételben szereplő egyenlet.

Az egyenletfogalom története

Az egyiptomiak és más ókori keleti népek az egyenleteket szöveges feladatok formájában fogalmazták meg. Minthogy ismerték a természetes és a pozitív törtszámokat, az alaphalmaz általában a pozitív racionális számok halmaza volt.

A római korban Diophantosz kialakított egy szórövidítésekből álló pre-algebrai nyelvet, melyen „egyenleteket” írhatott fel. Problémái már nem geometriai motivációjúak voltak, mint görög elődei esetében. A negatív számokat ő sem fogadta el megoldásként. Megoldási módszere gyakran a hamis feltevés módszere volt. Általában megelégedett egyetlen megoldás megtalálásával.

A hindu Brahmagupta már elfogadta a negatív számokat (a mínuszjel nála a számjel fölé tett pont volt), adósság-vagyon formájában és a számegyenesen is interpretálta őket, és ennek segítségével nagy lépést tett a másodfokú egyenletek felírásában és megoldásában. A betűparaméter fogalmát még nem ismerte, így csak numerikus példákon keresztül tudott foglalkozni velük; a megoldáshoz általában teljes négyzetté kiegészítés segítségével jutott el.

Fibonacci idejéig Európában csak szöveges formában tudtak egyenleteket felírni, ám Fibonacci újra bevezette a hinduk által már többé-kevésbé elfogadott negatív számokat, a mintegy két évszázaddal utána következő Regiomontanus pedig - többek között - a gyökmennyiségeket, ami az irracionális számok és kifejezések diadala volt. L. Pacioli és N. Chuguet visszatértek a Diophantosz által már bevezetni kezdett szinkopált algebrai nyelvhez. Olaszországban mindeközben eljutottak a harmadfokú egyenlet megoldásáig, megkezdve a komplex számok fogalmának elterjedését.

R. Descartes a koordinátarendszer és az analitikus geometria elterjesztésével megteremtette a kapcsolatot az alakzatok és az egyenletek között.

Az újkor végén óriási áttörést jelentettek E. Galois és N. H. Abel – igaz, negatív jellegű (lehetetlenséget bizonyító) – eredményei a magasabbfokú algebrai egyenletek gyökkifejezésekkel való megoldhatatlanságáról.

Hivatkozások

Lásd még

• egyenlet (elemi matematika)
• egyenlőtlenség
• nyitott mondat

Források

• Erettsegi.com
• Mathematika.hu
• Weisstein, Eric W.: Egyenlet (angol nyelven). Wolfram MathWorld