Hullámfüggvény

A hullámfüggvény egy kvantummechanikai állapot (azaz kvantumállapot) jellemzésére alkalmazható matematikai eszköz. Bár a klasszikus mechanikai hullámegyenlet egy megoldásaként előálló hullámfüggvény analógiájára hozták létre, a kvantummechanikában némiképp más értelemmel bír: a kvantummechanikai hullámfüggvény egy igen kiterjedt módon alkalmazott általános matematikai formalizmus egy alapvető matematikai objektuma.

Definíció

A modern szóhasználatban a hullámfüggvény jelenthet bármilyen vektort vagy függvényt, amely egy fizikai rendszer állapotát írja le, általában a rendszer más állapotai – alapvektorai, bázisfüggvényei – szerint kifejtve. Tipikusan egy hullámfüggvény lehet:

• komplex vektor véges számú komponenssel (például Heisenberg-kép)

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$,

• komplex vektor végtelen sok komponenssel

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\\\vdots \end{bmatrix}}$,

• egy vagy több valós változó komplex függvénye („folytonos indexű” komplex vektor) (például Schrödinger-kép)

$\psi (x_{1},\,\ldots \,x_{n})$.

Mindegyik esetben a hullámfüggvény a rendszer teljes leírását adja. Fontos azonban megjegyezni, hogy a rendszerhez rendelt hullámfüggvényt nem határozza meg egyértelműen az illető rendszer, mivel sok különböző hullámfüggvény is leírhatja ugyanazt a rendszert.

Interpretáció (függvény)

A hullámfüggvény fizikai interpretációja függ attól, hogy milyen összefüggésben használjuk. Számos példa található alább, mindegyiket megvizsgálva a fent megadott három esetre.

Egy részecske egy térdimenzióban

Egy részecskéhez egy dimenzióban rendelt hullámfüggvény egy olyan komplex $\psi (x)\,$ függvény, amelyet a valós számegyenesen értelmezünk. A hullámfüggvény $|\psi |^{2}\,$ abszolutérték-négyzetét a részecske helyzetének (megtalálási) valószínűségsűrűségének tekintjük, ezért annak a valószínűsége, hogy a részecske helyének megmérése az $[a,b]$ intervallumba eső eredményt ad:

$\int _{a}^{b}|\psi (x)|^{2}\,dx\quad$.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (x)|^{2}\,dx=1\quad$.

Mivel a részecske helyzetének mérése mindenképpen eredményre kell, hogy vezessen, azt valahol meg kell találnunk.

Egy részecske három térdimenzióban

A három dimenziós eset analóg az egy dimenzióssal. A hullámfüggvény egy komplex $\psi (x,y,z)\,$ függvény, amely a háromdimenziós Euklideszi téren van értelmezve, és az abszolutérték négyzetét háromdimenziós valószínűségsűrűség függvénynek tekintjük. Annak valószínűsége, hogy a részecskét a helyzetmérés során az $R$ térfogatban találjuk:

$\int _{R}|\psi (x)|^{2}\,dV$.

A normálási feltétel hasonló:

$\int |\psi (x)|^{2}\,dV=1$,

ahol az integrálás az egész térre kiterjed.

Két megkülönböztethető részecske három térdimenzióban

Ebben az esetben a hullámfüggvény hat (valós) térváltozó komplex függvénye:

$\psi (x_{1},y_{1},z_{1},x_{2},y_{2},z_{2})\,$,

és $|\psi |^{2}\,$ a két részecske pozíciójának együttes valószínűségsűrűségi függvénye. Annak a valószínűsége, hogy a két részecske helyzetének együttes mérése az első részecskét az R, a másodikat pedig az S tartományban találja:

$\int _{R}\int _{S}|\psi |^{2}\,dV_{2}dV_{1}$,

ahol $dV_{1}=dx_{1}dy_{1}dz_{1}$, $dV_{2}$ is hasonló. A normálási feltétel ezért:

$\int \int |\psi ^{2}|\,dV_{2}dV_{1}=1$,

ahol az integrálás kiterjed mind a hat változó teljes értelmezési tartományára.

Alapvető fontosságú, hogy észrevegyük a következőt: Két részecskéből álló rendszer esetén csak a mindkét részecskét tartalmazó rendszernek kell jól definiált hullámfüggvénnyel rendelkeznie. Azaz, nem lehet olyan valószínűségsűrűség függvényt felírni, amely nem függ explicit módon a második részecske helyzetétől. Ez vezet a kvantumcsatolás jelenségéhez.

Egy részecske egydimenziós impulzustérben

Egy részecske hullámfüggvénye egy dimenzióban, impulzustérben (impulzusreprezentációban) egy, a valós számegyenes értelmezett komplex $\psi (p)\,$ függvény. A $|\psi |^{2}\,$ mennyiség impulzustérben van értelmezve, ezért annak valószínűsége, hogy a részecske impulzusának mérése a $[a,b]$ intervallumba eső eredményre vezet:

$\int _{a}^{b}|\psi (p)|^{2}\,dp\quad$.

Ez a következő normálási feltételhez vezet:

$\int _{-\infty }^{\infty }|\psi (p)|^{2}\,dp=1$,

mivel a részecske impulzusa valamilyen értéket biztosan fel fog venni.

1/2-es spin

Egy 1/2-es spinű részecske hullámfüggvénye (eltekintve a térbeli szabadsági fokaitól) egy – algebrai – oszlopvektor (ld. spinorok):

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{bmatrix}}$.

A vektorkomponensek jelentése függ a választott bázistól, de tipikusan $c_{1}$ és $c_{2}$ a „felfelé” ill. „lefelé” mutató spinű állapotok a $z$ térbeli koordináta irányára vonatkozóan. A Dirac-féle braket-jelölésben:

$|\psi \rangle =c_{1}|\uparrow _{z}\rangle +c_{2}|\downarrow _{z}\rangle$

A $|c_{1}|^{2}\,$ ill. $|c_{2}|^{2}\,$ értékeket ezután úgy értelmezhetjük, mint annak a valószínűségét, hogy a részecske spinjének mérése a részecskét „fel” ill. „le” állapotban találja a z-irányhoz képest. A normálási feltétel itt:

$|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1\,$.

Interpretáció (vektor)

A hullámfüggvény itt a rendszer egy állapotát a rendszer más állapotai szerint kifejtve írja le. A rendszer aktuális állapotát jelöljük $|\psi \rangle \,$-vel, azok az állapotok pedig, ami szerint ez ki van fejtve legyenek $|\phi _{i}\rangle$. Az utóbbiakat együtt bázisnak vagy reprezentációnak nevezzük. A következőkben minden hullámfüggvényt normáltnak tekintünk.

Véges vektorok

A hullámfüggvény, ami egy ${\vec {\psi }}$ vektor $n$ komponenssel, leírja, hogyan fejezzük ki a fizikai rendszer $|\psi \rangle$ állapotát a végesen sok $|\phi _{i}\rangle$ bázisfüggvény lineáris kombinációjaként, ahol $i$ $1$-től $n$-ig fut. A

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}$,

egyenlet, ami oszlopvektorok közötti összefüggés, ekvivalens a

$|\psi \rangle =\sum _{i=1}^{n}c_{i}|\phi _{i}\rangle$,

egyenlettel, ami a fizikai rendszer állapotai közötti összefüggés. Vegyük észre, hogy a két egyenlet közötti áttéréshez ismerünk kell a bázisállapotokat, ezért két oszlopvektor, ugyanazokkal a komponensekkel, két különböző állapotot képviselhet, ha a bázisok különbözőek. Egy példát véges vektorra fent láttunk az 1/2-es spinű részecskénél, ahol a komponensek mögött ott vannak a részecske spinállapotai.

${\vec {\psi }}$ komponenseinek fizikai jelentését a hullámfüggvény összeomlásának elve adja meg:

Ha a $|\phi _{i}\rangle$ állapotok egy dinamikai változó (például impulzus, helykoordináta stb.) eltérő, határozott értékeivel rendelkeznek és az illető változó mérését elvégezzük a

$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\phi _{i}\rangle$

állapoton, akkor annak a valószínűsége, hogy eredményül $\lambda _{i}$-t kapjunk, $|c_{i}|^{2}$, és ha eredményünk $\lambda _{i}$, akkor a mérés után a rendszer a $|\phi _{i}\rangle$ állapotban lesz.

Végtelen vektorok

A diszkrét indexű végtelen vektort ugyanúgy kezeljük, mint a végeset, azzal a különbséggel, hogy az összegzés kiterjed az összes bázisállapotra. Így,

${\vec {\psi }}={\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\\\vdots \end{bmatrix}}$

ekvivalens a következővel:

$|\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|\psi _{i}\rangle$,

ahol a szokásos konvenció szerint az összegzés kiterjed ${\vec {\psi }}$ minden komponensére. A komponensek értelmezése ugyanaz, mint a véges esetben, az összeomlási elv is alkalmazandó.

Folytonos indexű vektorok (függvények)

Folytonos index esetén az összegzést integrálás helyettesíti. Erre egy példa egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, amelyik a részecske $|\psi \rangle$ fizikai állapotát a határozott helyzetű $|x\rangle$ állapotokon fejti ki. Ezért

$|\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x)|x\rangle \,dx$.

Vegyük észre, hogy $|\psi \rangle$ nem azonos $\psi (x)\,$-vel. Az előbbi a részecske aktuális állapota, míg az utóbbi egyszerűen egy hullámfüggvény, amelyik megadja, hogyan kell az előbbit kifejteni a határozott pozíciójú állapotok szerint. Ebben az esetben a bázisállapotok a következőképpen fejezhetők ki:

$|x_{0}\rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\delta (x-x_{0})|x\rangle \,dx$

és ezért az $|x_{0}\rangle$-hoz rendelt térhullámfüggvény $\delta (x-x_{0})\,$ (Dirac-delta).

Formalizmus

Tekintsünk egy izolált fizikai rendszert, ennek megengedett állapotai (olyan állapotai, amiben a rendszer lehet a fizikai törvények megsértése nélkül) egy $H$ vektortér, a Hilbert-tér részei. Azaz,

1. Ha $|\psi \rangle$ és $|\phi \rangle$ két megengedett állapot, akkor

$a|\psi \rangle +b|\phi \rangle$

szintén megengedett állapot feltéve, hogy $|a|^{2}+|b|^{2}=1$. (Ez a feltétel a normálás miatt van.)

és,

2. A normálás miatt, mindig van a H vektortérnek egy ortonormált bázisa.

Ebben az összefüggésben egy bizonyos állapothoz rendelt hullámfüggvény tekinthető a $H$ vektortér bázisán történő kifejtésnek, pl.

$\{|\uparrow _{z}\rangle ,|\downarrow _{z}\rangle \}$

egy az 1/2 spinű részecskéhez rendelt bázis, következésképpen egy ilyen részecske spinállapota felírható így:

$a|\uparrow _{z}\rangle +b|\downarrow _{z}\rangle$.

Néha hasznos lehet kifejteni egy rendszer állapotát meg nem engedett állapotokon, azaz nem egy $H$ térben. Egy példa erre egy részecske térhullámfüggvénye egy dimenzióban, ahol a határozott helyzetű állapotok szerint fejtjük azt ki. Ezek az állapotok tiltottak, mivel sértik a határozatlansági elvet. Az ilyen bázist – "helytelen" bázisnak hívjuk. A határozatlansági elv itt azért sérül, mert itt egy időben állandóan egy helyen – nulla mérési bizonytalansággal – levő részecskénk lenne, azaz az impulzusa is, és annak mérési bizonytalansága is nulla lenne.

Szokás felruházni $H$-t egy belső szorzattal, de ennek természete esetleges, függ a használt bázistól. Ha megszámlálhatóan sok $\{|\phi _{i}\rangle \}\,$ báziselemünk van, amelyik mind $H$-hoz tartoznak, akkor $H$ egyetlen olyan belső szorzattal rendelkezik, ami bázisát ortonormálttá teszi, azaz

$\langle \phi _{i}|\phi _{j}\rangle =\delta _{ij}.$

Ha ez a helyzet, akkor $|\phi _{i}\rangle$ belső szorzata egy tetszőleges vektor kifejtésével

$\langle \phi _{i}|\sum _{j}c_{j}|\phi _{j}\rangle =c_{i}$.

Ha a báziselemek kontinuumot alkotnak, mint például a hely- vagy koordináta bázis, amelyik tartalmaz minden határozott pozíciójú $\{|x\rangle \}$ állapotot, akkor szokás a Dirac-normálás választása

$\langle x|x'\rangle =\delta (x-x')$

azaz érvényes az analóg

$\langle x|\int \psi (x')|x'\rangle \,dx'=\int \psi (x')\delta (x-x')\,dx'=\psi (x)$.

összefüggés.

További információk

• A relativtáselmélet alapfogalmai, a hullámfüggvény és a megfigyelés a kvantummechanikában - közérthető írás a hullámfüggvényről