A Laplace-operátor (jele: Δ, ejtsd: delta) a több dimenziós analízis fontos differenciáloperátora, ami megadja egy több dimenziós függvény tiszta második deriváltjainak összegét.
Hasonló operátor a nabla operátor (jele: ∇).
Skalármező Laplace-operátora:

Vektormezőre:

A divergencia (div), a rotáció (rot) és a gradiens (grad) invarianciája miatt ez a definíció független a koordináta-rendszertől. Ha a Laplace-operátort skalármezőre alkalmazzák, akkor skalármezőt ad. Vektormezőre alkalmazva vektormezőt eredményez. n koordinátavektorra a Laplace-operátor így néz ki:

a definíció alapján, ahol
a nabla operátor.
Más koordináta-rendszerekben más alakja van; kiszámításához transzformálni kell a derékszögű koordináta-rendszert.
Egy dimenzióban a Laplace-operátor a második deriváltra redukálódik. Az egyváltozós
függvényre tehát formálisan felírható a következő egyenlet:
.
Az
kétváltozós függvényre alkalmazva a Laplace-operátort:
derékszögű koordinátákban:

polárkoordinátákban:

vagy

A
háromváltozós függvényre adódik
derékszögű koordináta-rendszerben

hengerkoordinátákban

az
gömbi koordinátákkal

Az egyenlőségjel utáni első tag helyett a következő is írható:
vagy akár
.
A Laplace-operátor Green-függvénye
mit
.
Ekkor teljesül:
, ahol
a delta-disztribúció.
Az elektrodinamikában a Green-függvényt a peremérték-probléma megoldásához használják.
A Laplace-operátor megjelenik például a Laplace-egyenletben:

Ennek kétszer folytonosan differenciálható megoldásai a harmonikus függvények.
Mivel a Hesse-mátrix az összes második deriváltból képzett mátrix, azért a Laplace-operátor éppen a Hesse-mátrix nyoma.
Az angol nyelvű szakirodalomban a Laplace-operátor jele
.
A Laplace-operátor az idő szerinti deriválttal együtt a d'Alembert-operátort adja:

Ez az operátor a Laplace-operátor általánosításának tekinthető a Minkowski-tereken.
A Laplace-operátor forgásszimmetrikus, azaz ha
kétszer differenciálható és
forgatómátrix, akkor
,
ahol „
“ a függvénykompozíciót jelöli.
Lásd még: rotáció, divergencia, gradiens
Diszkrét Laplace-operátor és képfeldolgozás[szerkesztés]
A képfeldogozásban a Laplace-operátort az élek felderítésére, megjelenítésére használják. Az él a jel második deriváltjának nullátmeneteként jelentkezik. Agn és gnm diszkrét jeleken a Laplace-operátort hajtogatásként alkalmazzák. Itt alkalmazzák a következő maszkokat:
- 1D-szűrő:

- 2D-szűrő:

A kétdimenziós szűrőnek van egy másik változata:
- 2D-Filter:

Ezek a differenciálhányadosok diszkretizálásával kaphatók.
Laplace–Beltrami-operátor[szerkesztés]
A Laplace-operátor eredetileg az euklideszi térben van értelmezve. A riemanni geometria formalizmusa segítségével adódik a lehetőség arra, hogy általánosítsák a görbült felületekre, és a Riemann-sokaságokra. Ez az általánosított operátor a Laplace–Beltrami-operátor.
Definíció: a Laplace-Beltrami-operátor az (általánosított) gradiens (általánosított) divergenciája.
Az
sokaságon értelmezett skalárfüggvény gradiense vektormező
-en.
Az
sokaság minden
pontjában fennáll a
érintővektorra:

Itt df(x) az f(x) függvény deriváltja x-ben, és ezt az érintőtér lineáris formájának fogják fel.
A gradiens kontravariáns komponensei így számíthatók:

az Einstein-féle összegkonvencióval. Ez azt jelenti, hogy j az összegben 1-től n-ig megy. A
-k a
metrikus tenzor inverz mátrixának elemei. Tehát
, ahol
a Kronecker-delta.
Az X vektormező divergenciája az
sokaságon az X vektormező szerinti térfogatelemek
Lie-deriváltjával

Ha
a sokaság metrikus tenzora, akkor a térfogatelem a helyi koordináták szerint

Itt
a metrikus tenzor determinánsának abszolútértéke.
A
-k a

bázisvektorok kovektorai, és bázist alkotnak a helyi koordináta-rendszer duális terében.
Helyi koordinátákban

Összesítve a Laplace-Beltrami-operátor:
.
A szorzás- és láncszabállyal erre az alakra hozható:

Mivel a háromdimenziós euklideszi térben a derékszögű koordináta-rendszerre
, azért
adódik, ami éppen megfelel a Laplace-operátornak. A (+,-,-,-) vagy (-,+,+,+) Minkowski-metrikával a D'Alembert-operátor áll elő.
A Laplace-Beltrami-operátorba az euklideszi polár-, henger- vagy gömbi metrikus tenzorokat helyettesítve is a Laplace-operátort kapjuk ezekben a koordináta-rendszerekben felírva, mert a polár- és hengerkoordinátákra
és
, a gömbi koordinátákra pedig
.
A Laplace-Beltrami-operátor felírható a Christoffel-szimbólumokkal is:
.
A d külső deriválttal és az általánosított divergenciával bizonyítható a sokaságokra a következő azonosság:
.
Alkalmas f és h függvényekre:
.
- Otto Forster: Analysis 3. 3. Auflage, vieweg studium, 1984
- Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik, vieweg Lehrbuch, 1995