Végeselemes módszer

Hidraulikus préskeret mechanikai feszültségei

2D VEM megoldás egy magnetostatikai feladatra (a vonalak a mágneses fluxus sűrűségének irányát, a színek az erősségét jelölik)

A fenti probléma megoldáshoz felvett sík háló (a háló vizsgált hely közelében sűrűbb)

A végeselemes módszer (VEM) numerikus módszer parciális differenciálegyenletek közelítő megoldására. Jellemzően mérnökök használják, a gépészmérnöki és építőmérnöki feladatokkal szorosan összefüggő mechanikai (szilárdságtani és lengéstani) számítások elvégzésére, valamint a villamosmérnöki gyakorlatban mezőszimuláció során is ezt a módszert alkalmazzák.

Lineáris statikus feladat

Tipikus példa a végeselemes módszer használatára egy bonyolult alakú statikusan terhelt gépalkatrész feszültségi állapotának és alakváltozásának meghatározása. Ebben az esetben az alkatrészt modellező geometriai testet véges számú elemre bontják. Síkbeli problémáknál például háromszögekre vagy négyszögekre, térbeli esetben esetleg hasábokra vagy tetraéderekre. A felosztást úgy célszerű végrehajtani, hogy azokon a részeken, ahol a megoldás szempontjából kritikus lehet az eredmény, ott sűrűbben kisebb méretű, ahol pedig a változások várhatóan kisebb mértékűek lesznek, ott nagyobb méretű elemeket választanak. A modellben az elemek csak sarokpontjaikon (csomópontjaikon) csatlakoznak egymáshoz. A csomópontokon az elemekre ható erők és a csomópontok elmozdulása között a Hooke-törvényt követő anyag esetén lineáris összefüggés van, ezekből összeállítható az elemek merevségi mátrixa. Az elemek merevségi mátrixaiból megszerkeszthető az egész feladat merevségi mátrixa. A feladat ebben a fázisban az alábbi egyenlet megoldására redukálódik:

${\vec {K}}{\vec {u}}={\vec {F}},$

ahol

${\vec {u}}$ az m elemű elmozdulásvektor,

${\vec {F}}$ az m x m elemű terhelésvektor,

${\vec {K}}$ egy m elemű szimmetrikus mátrix, a rendszer merevségi mátrixa,

$m=nk$ a rendszer csomópontjainak (n) és a csomópontok szabadságfokainak (k) szorzata.

Az egyenletrendszer megoldásával kiszámítható az egyes csomópontok elmozdulása, majd az elmozdulásokból a csomóponti erők és a közelítő mechanikai feszültségek. A statikus probléma tehát végső fokon egy lineáris egyenletrendszer megoldását kívánja, amelyre sok jól használható számítógépes módszert dolgoztak ki.

Dinamikai feladatok

A lineáris rendszer csillapítás nélküli lengéseire a következő egyenlet írható fel:

${\vec {M}}{\ddot {u}}+{\vec {K}}{\vec {u}}={\vec {0}},$

${\vec {\ddot {u}}}$ a gyorsulásvektor, nem más mint az ${\vec {u}}$ elmozdulásvektor idő szerinti második deriváltja,

${\vec {M}}$ szimmetrikus mátrix a tömegmátrix, melynek elemei a rendszer tömegének a csomópontokra redukált diszkrét részeiből épül fel.

${\vec {0}}$ nullvektor, azt fejezi ki, hogy nincs gerjesztés.

A megoldást a következő alakban lehet keresni:

${\vec {u}}={\vec {h}}sin\alpha _{i}$

ahol $\alpha _{i}$ az i-edik sajátérték (sajátfrekvencia),

${\vec {h}}$ pedig az i-ik sajátértékhez tartozó sajátvektor.

Visszahelyettesítve ezeket:

$(-{\vec {M}}+{\vec {K}})sin\alpha _{i}={\vec {0}}$

Ez a feladat így egy mátrix sajátérték-sajátvektor feladatra vezethető vissza. Gerjesztett lengések és lineáris csillapítás esetén az egyenlet ilyen alakú:

${\vec {M}}{\ddot {u}}+{\vec {S}}{\dot {u}}+{\vec {K}}{\vec {u}}={\vec {f}},$,

itt

${\vec {S}}$ a csillapítás mátrix,

${\vec {f}}$ pedig a gerjesztőerők vektora

Egyéb feladatok

A végeselemes módszert alkalmazni lehet nemlineáris feladatok megoldására is, mint például nemlineáris anyagtulajdonságok, nagy deformációk kezelésére, szerkezeti stabilitási problémák megoldására (épületszerkezetek stabilitása, kihajlása, külső nyomásnak kitett tartályok horpadása). Használják a VEM programokat hővezetési problémák illetve kombinált hővezetési és szilárdsági problémák megoldására is. Itt a gátolt hőtágulás okozta hőfeszültségek megállapítás az elsődleges cél. Mágneses és elektrosztatikus problémák szintén jól kezelhetők a módszerrel. Újabban gyakran használják a vízépítésben szivárgási és talajmechanikai vizsgálatok elvégzésére is.

Számítógépes programok

A végeselemes módszer kézi számításokra alkalmatlan, mivel nagyon sok elemi műveletet kellene megoldani hozzá. A mai viszonylag kis teljesítményű személyi számítógépek is alkalmasak azonban, hogy egy sor gyakorlatilag fontos feladat megoldható legyen. A végeselemes módszer alkalmazásánál nemcsak a tulajdonképpeni matematikai feladat (egyenletrendszer megoldása, sajátérték-feladat) megoldása munkaigényes, hanem magának az adatoknak az előkészítése és az eredmények értékelhető alakba hozása is sok időt igényelne. Ezért a korszerű számítógépes programok részét képezi egy preprocesszor és egy posztprocesszor is. A gépalkatrész példa esetén a preprocesszor egy CAD programban elkészített rajzból vagy térbeli modellből kiindulva automatikusan vagy félautomatikusan generálja a végeselemes hálót és ugyancsak segít a terhelések felhasználóbarát megadásában is. A posztprocesszor pedig vagy felrajzolja a torzított léptékű deformált alakot (vagyis a deformációk értékét egy nagyobb számmal megszorozva jól láthatóvá teszi az alakváltozást) vagy szintvonalakkal vagy színezéssel bejelöli a különböző feszültségű tartományokat. Sok új CAD program már tartalmaz egyszerűbb végeselemes modult. Ilyen többek között a CATIA V5, Autodesk Inventor Professional, SolidWorks, Pro/Engineer.

Ismertebb professzionális kereskedelmi VEM programok:

Aszimmetrikus ütközés okozta feszültségek és deformációk szilárdsági analízise

• ABAQUS
• ADINA
• ALGOR
• Analysis3D
• ANSYS
• CalculiX
• COMSOL
• COSMOS
• FEAP
• MARC
• NASTRAN
• LS-DYNA
• MESHPARTS
• SOFiSTiK

Szabad VEM programok:

• Elmer
• DUNE
• Z88

Külső hivatkozások

• Páczelt István, Szabó Tamás, Baksa Attila: A végeselem-módszer alapjai.
• dr. Vörös Gábor: Vrtuális munka elve. Véges elem módszer alapjai. BME ktatási segédlet.
• [https://web.archive.org/web/20110409092149/http://meshining.com/index_elemei/ujs-3-7.pdf �A matematikai modellezés és a végeselem-módszer]
• Bojtár Imre – Gáspár Zsolt: A végeselemmódszer matematikai alapjai. BME Tartószerkezetek Mechanikája Tanszék Budapest, 2009

Irodalom

• H.C.Martin, G.F.Carrey: Bevezetés a végeselem-analízisbe. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1976. ISBN 963-10-1301-4