Páraxióma

A páraxióma a halmazelmélet rendszereinek tipikus axiómája:

Ha x és y halmazok, akkor létezik egy olyan z halmaz, amelynek x és y eleme, más eleme viszont nincs.

$\forall x\forall y\exists z\forall u\,(u\in z\leftrightarrow (u=x\lor u=y))$

Egy másik tipikus halmazelméleti axióma, az extenzionalitási axióma biztosítja, hogy adott x-hez és y-hoz egyetlen ilyen z párhalmaz létezik. A párhalmaz bevett jelölése: $\{x,y\}$. Speciális esetként x és y lehet ugyanaz a halmaz is; az axióma tehát az egyelemű halmazok létezését is szavatolja. Ezeket $\{x\}$-szel jelöljük.

Változatok

• A komprehenziós séma lehetővé teszi a páraxióma következő gyengítését:

$\forall x\forall y\exists z\forall u\,((u=x\lor u=y)\rightarrow u\in z)$

A párhalmaz létezését tetszőleges x, y és megfelelő z esetén az $\{u\in z|\,u=x\lor u=y\}$ komprehenzió biztosítja.

• Atomos halmazelméletekben x és y atom is lehet, nem csak halmaz. Az axióma formális felírása nem változik.
• A Neumann–Bernays–Gödel-halmazelméletben és rokonaiban az osztálykomprehenziós séma biztosítja, hogy létezik a $\{x,y\}$ osztály. Az axióma itt tehát ebben a formában is kimondható:

Ha x és y halmazok, akkor a $\{x,y\}$ osztály is halmaz.

$\forall x\forall y\,\mathrm {m} (\{x,y\})$

($\mathrm {m}$ az osztályrealista halmazelméletek halmazpredikátuma.)

Története

A páraxióma megtalálható volt már Ernst Zermelo 1908-as axiómarendszerében is, az elemi halmazok axiómája (Axiom der Elementarmengen) részeként. Rendszerint szerepel a standard Zermelo-Fraenkel axiómarendszerben is; valamint ennek variánsaiban és a különféle osztályrealista halmazelméletekben.

Párhalmaz és rendezett pár

Egy halmaz elemeinek nincs sorrendje; $\{x,y\}$ ugyanaz a halmaz, mint $\{y,x\}$. Mégis általában csak a párhalmaz fogalmára támaszkodva tudjuk definiálni a rendezett párokat. A legelterjedtebb meghatározás Kazimierz Kuratowskitól származik 1921-ből:

$\langle x,y\rangle ={\Big \{}\{x\},\{x,y\}{\Big \}}$

A páraxióma kiküszöbölése

A legtöbb halmazelméleti axiómarendszerben a páraxióma bizonyítható; így csak kényelmi okokból szokták szerepeltetni. Közismert például az alábbi bizonyítás a standard Zermelo-Fraenkel halmazelméletben:

Létezik legalább egy x halmaz. (Ez logikai igazság: $\exists x\,x=x$.) A komprehenziós axiómaséma értelmében létezik az $\{y\in x|\,y\neq y\}$ halmaz is. Mivel minden azonos önmagával (ez is logikai igazság: $\forall xx=x$), ez $\emptyset$, az üres halmaz. A hatványhalmaz-axióma miatt létezik $\{\emptyset \}$ és ${\Big \{}\emptyset ,\{\emptyset \}{\Big \}}$ is. Az utóbbi kételemű halmaz. Így a pótlás axiómasémája értelmében minden párhalmaz létezik. ■

Ez a bizonyítás nem alkalmazható a Zermelo-halmazelméletben, mert ott hiányzik a pótlás axiómasémája.

Hivatkozások

• Thomas Jech: Set Theory: The Third Millennium Edition. Springer, 2003.
• Jean van Heijenoort: From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press, 1967.