Tranzitív reláció
Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk tranzitívnak, ha az elempárok azon tulajdonsága, hogy egymással relációban állnak, „láncszerűen” tovább adódik, mint például a testmagasság esetében a „magasabbnak lenni” relációnál: ha én magasabb vagyok az apámnál, az apám pedig magasabb az anyámnál, akkor én magasabb vagyok az anyámnál.
Tartalomjegyzék
Definíció[szerkesztés]
Az halmazon értelmezett reláció tranzitív, ha bármely esetén valahányszor és egyszerre teljesül, mindannyiszor is teljesül.
Halmazelméletileg ez azt jelenti, hogy a reláció négyzete (önmagával való szorzata, kompozíciója) része önmagának .
Példák[szerkesztés]
- az egyenesek párhuzamossága (mert ha az egyenes párhuzamos az egyenessel, az egyenes pedig párhuzamos a egyenessel, akkor az egyenes szükségszerűen párhuzamos a egyenessel is),
- a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert ha az osztható -vel és osztható -vel, akkor szükségszerűen osztható -vel is),
- a halmazok között a tartalmazási reláció (mert ha az halmaz tartalmazza a halmazt, a halmaz pedig tartalmazza a halmazt, akkor az halmaz mindenképpen tartalmazza a C halmazt is),
- az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert ha egy személy fölmenő rokona egy másiknak, ez a másik pedig fölmenő rokona egy harmadiknak, akkor az első szükségszerűen fölmenő rokona a harmadiknak is).
Ellenpéldák[szerkesztés]
- az egyenesek merőlegessége (mert attól, hogy az egyenes merőleges az egyenesre, az egyenes pedig merőleges a egyenesre, az egyenes nem lesz merőleges a egyenesre),
- a pozitív egész számok között a relatív prímek reláció (mert ha és relatív prímek és és is relatív prímek, attól és még nem feltétlenül relatív prímek egymással, például esetén sem)
- a halmazok között a diszjunktság reláció (mert attól, hogy az és a halmaznak nincs közös eleme, valamint a és a halmaznak sincs közös eleme még nem biztos, hogy és halmaznak sincs közös eleme),
- az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert ha egy ember ismer egy másikat, s ez a másik ismer egy harmadikat, attól az első még nem fogja szükségképpen ismerni a harmadikat).
További példák tranzitív relációkra[szerkesztés]
- valós számokon a kisebb-egyenlő, a nagyobb-egyenlő, a kisebb, a nagyobb, az egyenlőség
- minden ekvivalenciareláció, úgymint:
- halmazokon az ekvivalencia, azaz számosságazonosság;
- egész számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás,
- egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
- a tér síkjain a párhuzamosság
- logikai formulák halmazán az logikai ekvivalencia
- Minden (elő)rendezési és rendezési reláció, pl.:
- pozitív egész számokon az oszthatóság
- halmazokon a tartalmazási reláció.
