Szigmoid függvények

A szigmoid-függvények gyűjtőnév alatt ‘S’ alakú grafikonnal rendelkező (általában valós értékű és folytonos) függvényeket szokás érteni. Ezek közel szimmetrikus viselkedést mutatnak az induló- és a megállapodó tartományban. Van egy monoton felfutási szakaszuk, egy középső, lassú változást mutató szakasz, majd egy, a konstans növekedést megközelítő, egyre lassuló újabb monoton növekvő szakasz következik. Ezek a szakaszok egy S betűre, vagy a görög kis szigma betűjelére emlékeztető grafikonná állnak össze.

Számos természeti folyamat úgy zajlik le, hogy az időben, egy kezdeti értéktől kissé gyorsulva indul, majd közeledik a végső állapotig. Ilyenek például a tanulási folyamatok, melyeket az úgynevezett tanulási függvénnyel lehet ábrázolni.

Ha az adott folyamatról részletes, karakterisztikus leírás hiányzik, akkor a szigmoid-függvény kifejezés is pótolhatja az adott folyamat leírását, ábrázolását.

A szigmoid-függvény gyakran az úgynevezett logisztikai függvény speciális esetére utal, és a következő függvénnyel definiálhatjuk:

$P(t)={\frac {1}{1+e^{-t}}}.$

A szakirodalomban azonban további függvényeket is szokás ezen a néven nevezni. ^[forrás?] Egy másik példa a Gompertz-görbe, mely a t érték felé telítődik. További példa lehet az Ogee-görbe, melyet vízelvezető csatornák túlfolyóinál alkalmazzák. Számos további alkalmazásnál találkozhatunk a szigmoid görbével: mesterséges neuronok aktiválási függvénye, a logisztikus növekedés görbéje (ezt szokás leggyakrabban szigma- vagy szigmoid-görbeként említeni ^[forrás?]), és a hiperbolikus függvények.

Logisztikai görbe

Gauss-féle hibafüggvény

Tulajdonságok

Általában a szigmoid-függvény valós értékű, és differenciálható. Első deriváltja harang alakú.

Egy pár horizontális aszimptotával rendelkezik, ahol $t\rightarrow \pm \infty$. A logisztikai-függvények szigmoidak, és egy differenciál egyenlet megoldásaként jellemezhetők:

$P'(t)={\frac {r}{k}}P(t)(b-P(t)).$

Példák

Szigmoid-függvények

Az alsó ábrán különböző szigmoid-függvények láthatók. Minden függvény normalizált, 0 és 1 között. A logisztikai függvény mellett, szigmoid típusú az arkusz tangens,a hiperbolikus tangens, és a hiba-függvény, és $f(x)={\tfrac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$. alakú algebrai függvények.

Általában minden egyenletes, pozitív integrál szigmoid, így a kumulatív eloszlásfüggvények, valószínűségi eloszlások. A legnevezetesebb példa a hiba-függvény, mely a normális eloszlás kumulatív eloszlás függvénye.

Irodalom

• Tom M. Mitchell: Machine Learning. (hely nélkül): WCB–McGraw–Hill. 1997. ISBN 0-07-042807-7  

További információk

• [1]
• [2]

Kapcsolódó szócikkek

• Logisztikai függvény
• Gauss-féle hibafüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Rayleigh-fading
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Weibull-eloszlás
• Logit
• Ogee-görbe
• Gompertz-függvény