Diszjunkció

Vagy-kapu

A matematikai logikában diszjunkció vagy más néven logikai "vagy" alatt egy olyan kétváltozós logikai műveletet értünk, amelynek a logikai értéke akkor és csak akkor hamis, ha mind a két operandusának hamis a logikai értéke. Másként megközelítve: a diszjunkció akkor igaz, ha bármely operandusának igazságértéke igaz. A logikai értelemben vett vagy műveletnek a fentiek értelmében eltérő jelentése van a hétköznapi "vagy" szavunkhoz képest. Természetes nyelven ugyanis a "vagy" szó alatt a "kizáró vagy" műveletét szoktuk érteni, azaz amikor az operandusok közül egyszerre csak az egyik igaz, a kettő együtt nem. Ez a logikai vagy művelettel nem ekvivalens. Például, amikor azt mondjuk, hogy "Küldd el sms-ben, vagy e-mailben!", az alatt azt értjük, hogy vagy az egyik, vagy a másik úton kérjük az adatot, nem azt, hogy mind a két módon szeretnénk megkapni. A hétköznapi beszédben ilyenkor inkább "és"-t mondunk.

Definíció

A p vagy q ítéletek diszjunkcióját a következő igazságtáblázat definiálja:

p	q	∨
igaz	igaz	igaz
igaz	hamis	igaz
hamis	igaz	igaz
hamis	hamis	hamis

ahol $\vee$ a diszjunkció jele.

Tulajdonságai

Tetszőleges $A,B,C$ ítéletek esetén teljesülnek a következő állítások:

• A diszjunkció idempotens, azaz

$A\vee A\equiv A$

• A diszjunkció kommutatív, azaz

$A\vee B\equiv B\vee A$

• A diszjunkció asszociatív, azaz

$A\vee (B\vee C)\equiv (A\vee B)\vee C$

• A konjunkció disztributív a diszjunkcióra, azaz

$A\wedge (B\vee C)\equiv (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$

• A diszjunkció disztributív a konjunkcióra, azaz

$A\vee (B\wedge C)\equiv (A\vee B)\wedge (A\vee C)$

• A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek az elnyelési tulajdonságok (abszorptivitás), azaz

$A\vee (A\wedge B)\equiv A$

$A\wedge (A\vee B)\equiv A$

• A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek a De Morgan azonosságok, azaz

$\neg (A\wedge B)\equiv (\neg A)\vee (\neg B)$, és

$\neg (A\vee B)\equiv (\neg A)\wedge (\neg B)$

• Végül fennáll a dualitás elve, azaz ha felcseréljük a konjunkciót és a diszjunkciót, valamint az igaz és a hamis logikai konstansokat, akkor az állítás igazságértéke megmarad.

Halmazelméleti megközelítés

A diszjunkció művelete a halmazelméletben megfelel az unió műveletének. "A vagy B" Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész diszjunkció esetén)

Alkalmazása a számítástudományban

A legtöbb programozási nyelvben létezik diszjunkció önálló műveletként. Két fajtáját meg is különböztethetjük, tipikusan már a forráskódban is másként jelölve.

Logikai diszjunkció

Megfelel a fentebb tárgyaltaknak, azaz két operandus (feltétel) közül az egyik teljesülése esetén a futás az elágazás igaz ágán folytatódik. Általában ha az egyik feltétel igaznak bizonyult, a többi már nem is értékelődik ki, a futásidővel való spórolás okán. Jelölése C nyelven pl. "||", Pythonban az "or" kulcsszóval történik.

if ((a < 0) || (a > 10)) { return true; } // Ha az a kisebb lesz 0-nál, vagy nagyobb 10-nél, igazat adunk vissza

Bitszintű diszjunkció

Ekkor a vagy műveletét tipikusan egy számon végezzük el, bitenként. Amennyiben egy adott helyiértéken legalább az egyik operandus 1, akkor az eredmény is 1 lesz. Például ha a = 1100 (=12), b = 1010 (=10):

• a = 1100
• b = 1010
• | = 1110

Tehát az eredményünk 14 lesz. Ezen műveletet pl. C nyelven egy "|" jellel tüntetjük fel.

Források

• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)
• https://web.archive.org/web/20050222113037/http://www.inf.u-szeged.hu/oktatas/Tempus/logika.doc
• Juhász István: Programozás I. (halott link)

Kapcsolódó szócikkek

• Konjunkció
• De Morgan-azonosságok
• Logikai kapu