Hiperbolikus függvények

A trigonometrikus és hiperbolikus függvények, illetve ezek inverzei

A hiperbolikus függvények a matematikában a szögfüggvényekhez hasonló függvények.

A két alapvető hiperbolikus függvény a hiperbolikus szinusz (jelölése sh vagy sinh) és a hiperbolikus koszinusz (jelölése ch vagy cosh), melyekből levezethető a hiperbolikus tangens (jelölése th vagy tanh) stb. függvény a szögfüggvényekhez hasonlóan. Ezeknek a függvényeknek az inverzei az area hiperbolikus függvények.

Ahogy a (cos t, sin t) pontok egy kört határoznak meg, úgy a (ch t, sh t) pontok egy hiperbola jobb oldali félgörbéjét írják le. A hiperbolikus függvények azért is fontosak, mert több lineáris differenciálegyenlet megoldását fel lehet írni a használatukkal. Ilyen például derékszögű koordináta-rendszerben a súlya alatt lelógó kábel egyenlete. Alkalmazhatóak ezen kívül a Laplace-egyenlet megoldásánál, amely a fizika több területén – az elektromágnesség elméletében, hőátadásban, folyadékok dinamikájában és a speciális relativitáselméletben – is fontos.

Algebrai összefüggések

sh, ch és th

csch, sch és cth

A hiperbolikus függvények:

• Hiperbolikus szinusz:

${\text{sh}}x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}=-i\sin ix\!$

• Hiperbolikus koszinusz:

${\text{ch}}x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\cos ix\!$

• Hiperbolikus tangens:

${\text{th}}x={\frac {{\text{sh}}x}{{\text{ch}}x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}=-i\tan ix\!$

• Hiperbolikus kotangens:

${\text{cth}}x={\frac {{\text{ch}}x}{{\text{sh}}x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=i\cot ix\!$

• Hiperbolikus szekáns:

${\text{sch}}x={\frac {1}{{\text{ch}}x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}=\sec ix\!$

• Hiperbolikus koszekáns:

${\text{csch}}x={\frac {1}{{\text{sh}}x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}=i\,\csc \,ix\!$

ahol $i$ az imaginárius egység.

A fenti definíciókban a komplex alakok az Euler-formulából adódnak.

Hasznos összefüggések

$\operatorname {sh} (-x)=-\operatorname {sh} x\,\!$

$\operatorname {ch} (-x)=\operatorname {ch} x\,\!$

Innen:

$\operatorname {th} (-x)=-\operatorname {th} (x)\,\!$

$\operatorname {cth} (-x)=\operatorname {cth} (x)\,\!$

$\operatorname {sch} (-x)=\operatorname {sch} \,x\,\!$

$\operatorname {csch} (-x)=-\operatorname {csch} \,x\,\!$

Látható, hogy a ch x és sch x páros, a többi páratlan függvény.

Integrálok

$\int {\text{sh}}cx\,dx={\frac {1}{c}}{\text{ch}}cx+C$

$\int {\text{ch}}cx\,dx={\frac {1}{c}}{\text{sh}}cx+C$

$\int {\text{th}}cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |{\text{ch}}cx|+C$

$\int {\text{cth}}cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |{\text{sh}}cx|+C$

A fenti kifejezésekben C az integrálás állandója.

Taylor-sorba fejtés

${\text{sh}}x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

${\text{ch}}x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$

${\text{th}}x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

${\text{cth}}x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurent-sor)

${\text{sch}}\,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}$

${\text{csch}}\,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi$ (Laurent-sor)

ahol

$B_{n}\,$ az n-ik Bernoulli-szám

$E_{n}\,$ az n-ik Euler-szám

Hasonlóságok a szögfüggvényekkel

Kör és hiperbola kapcsolata

Az x y = 1 hiperbola x > 1 tartományban lévő tetszőleges pontja hiperbolikus háromszöget határoz meg, amelyben a hiperbolikus szög melletti oldal a ch értékkel egyenlő, míg a szöggel szemben fekvő oldal az sh-val. Azonban mivel a hiperbola (1,1) pontja az origótól √2 távolságra van, ezért az oldalak hosszát 1/√2 tényezővel kell szoroznunk, hogy a helyes eredményt kapjuk.

Mint ahogy a (cos x, sin x) pontok egy kört ( x² + y² = 1) határoznak meg, a (ch x, sh x) pontok az x² - y² = 1 egyenlő szárú hiperbola jobb oldali görbéjét írják le. Ez ezen a könnyen ellenőrizhető azonosságon:

${\text{ch}}^{2}x-{\text{sh}}^{2}x=1\,$

és azon alapul, hogy ch x > 0 minden x-re.

A hiperbolikus függvények periodikusak $2\pi i$ komplex periódus szerint.

A x paraméter nem a kör középponti szöge, mint a szögfüggvényeknél, hanem a hiperbolikus „szög”, amelynek értéke a kétszerese annak a területnek, melyet az x tengely, a hiperbola és egy, a hiperbola (ch x, sh x) pontjából az origóba húzott egyenes határol.

A hiperbolikus függvényekre igen sok olyan azonosság érvényes, melyek hasonlóak a szögfüggvények azonosságaihoz. Az Osborne-szabály kimondja, hogy minden trigonometrikus azonosságot egy analóg hiperbolikus azonossággá lehet alakítani a következőképpen:

• lecseréljük a szögfüggvényt a hiperbolikus megfelelőjével és
• az sh * sh kifejezés előjelét megváltoztatjuk.

Néhány példa:

${\text{sh}}(x+y)={\text{sh}}x{\text{ch}}y+{\text{ch}}x{\text{sh}}y\,$

${\text{ch}}(x+y)={\text{ch}}x{\text{ch}}y+{\text{sh}}x{\text{sh}}y\,$

${\text{th}}(x+y)={\frac {{\text{th}}x+{\text{th}}y}{1+{\text{th}}x{\text{th}}y}}\,$

A „kétszeres szög” képletek:

${\text{sh}}2x\ =2{\text{sh}}x{\text{ch}}x\,$

${\text{ch}}2x\ ={\text{ch}}^{2}x+{\text{sh}}^{2}x=2{\text{ch}}^{2}x-1=2{\text{sh}}^{2}x+1\,$

és a „fél-szög” képletek:

${\text{ch}}^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {{\text{ch}}x+1}{2}}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párjának.

${\text{sh}}^{2}{\frac {x}{2}}={\frac {{\text{ch}}x-1}{2}}$ Megjegyzés: Ez megfelel a szögfüggvény párja szorozva (-1)-gyel.

Az sh x deriváltja ch x, a ch x deriváltja pedig sh x.

Kapcsolat az exponenciális függvénnyel

A hiperbolikus függvények definíciós képleteiből levezethetők a következő azonosságok:

$e^{x}={\text{ch}}x+{\text{sh}}x\!$

és

$e^{-x}={\text{ch}}x-{\text{sh}}x\!$

Deriváltak

${\frac {d}{dx}}{\text{sh}}x={\text{ch}}x\,$

${\frac {d}{dx}}{\text{ch}}x={\text{sh}}x\,$

${\frac {d}{dx}}{\text{th}}x=1-{\text{th}}^{2}x={\hbox{sch}}^{2}x=1/{\text{ch}}^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}{\text{cth}}x=1-{\text{cth}}^{2}x=-{\hbox{csch}}^{2}x=-1/{\text{sh}}^{2}x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch}}x=-{\hbox{csch}}\ x{\text{cth}}x\,$

${\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech}}x=-{\hbox{sech}}\ x{\text{th}}x\,$

Kapcsolódó szócikkek

• Inverz hiperbolikus függvények
• Hiperbolikus függvények integráljainak listája
• Láncgörbe
• Euler-féle szám

Külső hivatkozások

• Hyperbolic functions MathWorld megfelelő oldala
• GonioLab: Egységsugarú kör, szögfüggvények és hiperbolikus függvények szemléltetése.