Transzformáció (matematika)

A geometriai transzformáció geometriai objektumok között létesitett megfeleltetés, reláció.

Szűkebb értelemben egy-egyértelmű $\varphi$ :P→P* (pont-pont) megfeleltetés = ponttranszformáció.
A P pont e transzformáció tárgypontja, a megfeleltetett P* pont ennek képpontja vagy képe.

Az összetartozó (P;P*) rendezett pár: homológ pontpár. Hasonló értelemben használjuk a tárgyalakzat, képalakzat, homológ alakzatok elnevezéseket. Gyakran a transzformáció helyett is a görögből származó homológia szó szerepel az irodalomban.

Valamivel általánosabb értelmezésben transzformációnak nevezzük azokat a megfeleltetéseket is, amelyeknél a megfelelő elempárok különfélék. Pl.: ponthoz-egyenest és egyeneshez-pontot rendelő megfeleltetések, a korrelációk.

A geometriai transzformáció fogalmai szemléletes konkrétumokból származtathatók, de a tudomány fejlődése során absztrakttá váltak és korábban nem tapasztalt jellemzőkkel egészültek ki. Esetenként geometriai alakzatok (idomok, testek, ponthalmazok), máskor a sík/tér minden pontjának áthelyezéseként-átalakításaként értelmezzük. Ugyanígy váltakozva a sík önmagára vagy egy másik síkra való transzformálásáról beszélünk. Ugyancsak transzformáció a térbeli alakzatok síkbeli szemléltetése: ábrázolása, de pont-pont megfeleltetést valósítunk meg a Földet síkban ábrázoló térképeken is. A geometriai transzformáció egyik válfaját valósítják meg a komplex függvények.

Története

Eukleidész az Elemekben csak két alakzat egybevágóságával és hasonlóságával, mint az összehasonlítás (összemérés) egyik attribútumával foglalkozik anélkül, hogy ezeket megnevezné. Csupán úgy szólnak a tételei, hogy "bizonyos méretek egyezése esetén más méretek is egyelők". (Pl. ha két háromszögben két oldal és a közbezárt szög megegyezik, akkor a harmadik oldal és a két másik szög is.) Az Elemek szellemében keletkezett ókori és középkori munkákban csupán nyomokban jelenik meg a megfeleltetés, s akkor is inkább olyan feladatokban, hogy "szerkesszük meg egy adott alakzat olyan képét ..." és az olyan kikötésében fogalmazódik meg (kezdetben burkoltan) az egybevágóság/hasonlóság kritériuma. Az Elemek szemlélete a szintetikus geometriát tárgyaló tankönyvek, monográfiák lapjain még a XX. sz.-ban is felfedezhető, (a szimmetrikus alakzatok vizsgálatával kiegészítve).

Bár az újkori matematikusok levelezésében követhető a fogalom fejlődése, az analitikus (koordinátás) tárgyalás első szisztematikus kidolgozását Leonard Eulernek tulajdoníthatjuk (Introductio in analysis infinitorum, 1784)

Az elnevezés eredete bizonytalan és nem is találó, hiszen mint a latin transformare ige származéka átalakítást jelent, de sok transzformáció éppenhogy nem változtatja meg az alakzatok formáját (egybevágóság, hasonlóság). Talán a transportatio (átszállítás), transplantatio (átültetés), transmissio (átküldés) szavak egyike alkalmasabb lett volna, hiszen a pont-transzformációk a sík/tér pontjait (kevés kivétellel) máshová helyezik. Gyanítható, hogy a fogalom kialakulására és elnevezésére akkor került sor, amikor a kutatók az egyszerű, szemléletes alaktartó transzformációk után a torzképet generáló (anamorf) megfeleltetésekkel is kezdtek foglalkozni.
A merev testek helyváltoztatásához, mozgásához kapcsolódó vizsgálatokból kiindulva jutott el a matematika a térbeli és síkbeli alakzatokra értelmezett leképezések, a geometriai transzformációk fontosságának felismeréséhez. Lényeges fordulatot hozott az 1872-es év. Ekkor hangzott el Felix Klein (1849–1925) német matematikus nevezetes előadása, amelyre a matematika története az Erlangeni Program néven utal. Klein ebben az összefoglalójában hívta fel a figyelmet, hogy a geometriai transzformációkat vizsgálhatjuk aszerint is, hogy egyes alakzatoknak milyen tulajdonságait örökítik; más szóhasználattal, hogy a transzformáció során melyik tulajdonság változatlan, invariáns.

Általános jellemzők

A ponttranszformációk tárgyalásánál az analitikus eszközöket nem használó szintetikus geometria a szemléletből származtatott geometriai fogalmakat használ, s a megállapítások főleg a szemléletes euklideszi sík (2D) és tér (3D) pontjaira, alakzataira vonatkoznak. Az analitikus eszközöket használó koordináta geometria (lineáris algebra) véges dimenziójú ponthalmazokkal, n dimenziós vektorterekkel foglalkozik. Különbözik a transzformáció megadása: szerkesztési szabály (algoritmus) illetve képlet (egyenlet). A két szakterület eszköztárával definiált fogalmakat, tételeket össze kell vetni, azaz igazolni, hogy más "nyelven", de ugyanarról beszélünk.
Ha a transzformációt megadó megfeleltetés egy-egyértelmű, akkor létezik az inverze, ami minden P^* képponthoz annak tárgypontját rendeli.
Két vagy több transzformáció kompozícióját kapjuk, ha egymásután hajtjuk végre azokat: P→P^* az első, P^*→P^** a második hozzárendelés, amelyet egyetlen P→P^** helyettesít. Ezért célszerű az "egyszerű", (kevés eszközzel leírható) elemi vagy kanonikus és az összetett transzformációkat megkülönböztetni. A részletes tárgyalás kimutatja, hogy a kanonikus transzformációk kompozíciójával a sík minden olyan transzformációja előállítható, amelyik az összetevők invariáns tulajdonságaival rendelkezik.

Speciális alakzatok

• Invariáns (változatlan) alakzat: A sík/tér önmagára való leképezésekor néhány pont, egyenes vagy más fontos alakzat képe a tárgyával megegyezhet.
• Fix (mozdulatlan) alakzat: Olyan invariáns alakzat, melynek minden pontja helyben marad.

Síkban

• Centrum: fixpont, amelyre illeszkedő egyenesek invariáns egyenesek.
• Tengely: fixegyenes. (Hagyományos -szinonim- elnevezés: forgás-, tükrözés-, affinítás-tengelye !)

Térben

• Centrum: fixpont, amelyre illeszkedő egyenesek és síkok invariáns alakzatok.
• Tengely: fixegyenes, amelyre illeszkedő egyenesek (metszők) és síkok invariáns alakzatok.
• Tengely-sík: fixsík amelyre illeszkedő pontok és egyenesek invariáns alakzatok.

Transzformációk Klein-féle rendszerezése

(Nem osztályozás, mert átfedések vannak!)

Homeomorfia (topologikus transzformáció)

Nagyon általános, kevés invarianciát mutató transzformációt kapunk, ha egy ábrát rugalmas lemezre rajzolunk, majd a lemezt tetszőlegesen alakítjuk, miközben csak arra ügyelünk, hogy síkban maradjon. Az ábra szinte a felismerhetetlenségig eltorzul. A távolságok, a szögek, az arányok is megváltoznak, de a formák egy része így is felismerhető. Az egyenesek, körök, sokszögek akármilyen görbévé-idommá változtathatók. Néhány invariáns tulajdonságot azonban itt is felfedezhetünk, s ezek egyike a folytonosság. Ez a fura transzformáció megőrzi az elemek illeszkedését is. A vonalakon elhelyezkedő pontok rendezettsége is megmarad: a tárgy- és képalakzat egymással homeomorf = topologikusan ekvivalens. (Szemléletesen illusztrálja a topologikus transzformációt egy úthálózat deformált térképe.)

Anamorfia

A valamivel "szabályosabb" (szerkesztésekkel vagy képletekkel megadott) transzformációkat anamorfizmusoknak nevezik, ha nem minden egyenesnek egyenes a képe. Ilyen pl. a körre vonatkozó inverzió. Művészi ábrázolásnál is alkalmazzák.
Néhány példa és free-software!:

Kollineáció (projektivitás)

Olyan homeomorfia, aminél minden egyenes képe egyenes. A sík (bijektív) egyenestartó leképezéseinek gyűjtőneve. Analitikusan elsőfokú (lineáris) egyenletrendszerrel adjuk meg: lineáris transzformáció. Az egyenesen levő pontnégyesek kettősviszonyát is megőrzi.

Affinitás

Olyan kollineáció, ami a párhuzamos egyeneseket párhuzamos egyenesekbe transzformálja: párhuzamosság tartó. Az egyenes három pontjának az osztóviszonyát is örökli a kép.

Hasonlóság

Olyan affinitás, ami megtartja a szakaszok arányát és az egyenesek hajlásszögét.

Egybevágóság

Olyan hasonlóság, ahol a szakaszok képének hossza is invariáns.

Elemi (kanonikus) síktranszformációk

Identitás

a P* = P szabállyal adott transzformáció (= minden pontnak önmaga a képe).

Mozgások

• Eltolás (transzláció): Minden PP* szakasz azonos irányú és nagyságú.
• Forgatás (rotáció): C fix, minden más P-re PP* azonos irányú és C közepű körív, azonos középponti szöggel.

(A transzformáció szempontjából közömbös a mozgás pályája.)

Tükrözések (szimmetriák)

Tengelyes tükrözés

Középpontos tükrözés

• Tengelyes tükrözés: Ha P∈t, akkor P*=P, különben PP* ⊥ t és (P*t) = -(Pt).
• Középpontos tükrözés: Ha P=C, akkor P*=P, különben (P*C) = -(PC)

Tengely- / kör-szimmetrikus egy alakzat, ha önmagának a képe.

Középpontos hasonlóság

Homotécia

• Homotécia: Ha P=C, akkor P*=P, különben P* ∈ CP és CP* = k.CP (k≠0)

A hasonlóság aránya k < 0 és k > 0 is lehet,

• ha |k| < 1: kicsinyítés,
• ha 1 < |k|: nagyítás,
• ha k = 1: identitás,
• ha k = -1: tükrözés.

Tengelyes affinitások

Merőleges affinitás

• Merőleges (ortogonális) affinitás: Ha P∈t, akkor P*=P, különben PP* ⊥ t és tP* = k.tP (k≠0)

Az affinitás aránya k < 0 és k > 0 is lehet,

• ha |k| < 1: összenyomás,
• ha 1 < |k|: nyújtás,
• ha k = 1: identitás,
• ha k = -1: tükrözés.

• Párhuzamos affinitás (nyírás, eláció): Ha P∈t, akkor P*=P, különben PP* || t és tP* = k.tP (k≠0)

(A nem-merőleges (klinogonális) affinitás: PP* szakaszok t-vel alkotott szöge azonos. Nem elemi transzf., kompozícióként állítható elő. A)

Projektivitás

Néhány leképezés

• Centrális-axiális kollineáció

A transzformációt a C centrumával, a t tengelyével és egy homológ pontpárral (P→P*) adhatjuk meg.
A leképezés: Ha P∈t és/vagy P=C, akkor P*=P, különben PP*∈C; továbbá ha e||t, akkor e*||t, különben az (ee*)∈t.

! Az euklideszi sík nem minden esetben kompakt erre a megfeleltetésre nézve, azaz nem minden pontjának van képe és nem minden pont kép!!

Az ideális pontokkal kiegészített euklideszi sík (klasszikus projektív sík) azonban igen.

Térbeli kanonikus transzformációk

(Részletezés nélkül)

Mozgások

• Egyenes menti eltolás
• Tengely körüli forgatás

Tükrözések

• Pontra
• Egyenesre
• Síkra

(Invariáns alakzatok: gömb-, henger-, sík-szimmetrikusak.)

Hasonlóság

• Homotécia (középpontos kicsinyítés / nagyítás)

Affinitás

• Tengelyes (szűkítés / tágítás)
• Tengely-síkos (lapítás / széthúzás)

Projektivitás

• Centrális-tengelysíkos kollineáció

A transzformációk analízise

Az euklideszi sík transzformációi közül csak azokat vizsgálhatjuk az analitikus geometria eszközeivel, amelyeknek a leképezését

$x^{,}=X(x,y)$

$y^{,}=Y(x,y)$

alakú transzformációs egyenletrendszerrel írhatjuk le.
A sík affin (hasonló, egybevágó) transzformációit

$x^{,}=a_{10}+a_{11}x+a_{12}y$

$y^{,}=a_{20}+a_{21}x+a_{22}y$

homogén lineáris egyenletrendszer definiálja: lineáris transzformációk.

Affin transzformációk

A párhuzamosságot nem örökítő projektív transzformációk analíziséhez homogén koordinátákat kell használni

$x_{0}^{,}=a_{00}x_{0}+a_{01}x_{1}+a_{02}x_{2}$

$x_{1}^{,}=a_{10}x_{0}+a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}$

$x_{2}^{,}=a_{20}x_{0}+a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}$

A kibővített euklideszi (=klasszikus projektív) sík közönséges pontjainak (x₀≠0) kétféle koordinátáinak átszámításai:

$x=x_{1}:x_{0}$

$y=x_{2}:x_{0}$

illetve

$(x_{0},x_{1},x_{2})=(x,y,1)$.

Pont- és bázistranszformáció

Bázis-transzformációk

Az analitikus tárgyalásban meg szoktuk különböztetni két értelmezést:

1. Pont-transzformáció: a sík pontjainak képét rögzített koordináta-rendszerben adjuk meg,
2. Bázis-(rendszer-) transzformáció: a pontokat a síkban rögzítve a koordináta-rendszert transzformáljuk.

Ez utóbbi értelmezés szerint a leképezés a koordináta-hálózat képével szemléltethető.

Vetítés (projekció, perspektíva)

Vetítések

Két sík között úgy is megadhatunk egy leképezést, hogy a tárgysík pontjait a képsík pontjaiba vetítjük:

• paralel projekció: párhuzamos egyenesekkel
• centrális projekció: egy (külső) pontra illeszkedő egyenesekkel.

A vetítés által generált leképezés típusa ezen kívül a két sík kölcsönös helyzetétől is függ. (L.: ábra)
A sík vagy a tér önmagára való leképezése:

• perspektív: ha a homológ pontpárokat (PP*) összekötő egyenesek párhuzamosak, vagy centrálisak.

Síkvetületek

Térképek

Különleges alkalmazásoknál használt transzformációk, például a

• térábrázolás (3D-grafika): elfajuló 3D kollineáció, (a tér pontjainak képe egy síkba kerül)

A műszaki gyakorlat a Monge-féle vetületeket és axonometrikus perspektívát, a művészi térábrázolás centrális perspektívát használ.

• térképvetület: a Földfelszín síkba transzformált képe.

A térképvetületek egy része valódi (perspektív) vetítéssel származtatható (valódi vetület), másokat analitikus formulákkal adják meg (képzetes vetület). A vetületek között összetett megfeleltetésekkel is találkozunk. (Pl.: A földgömböt hengerre, kúpra stb. vetítik, majd ezeket a térkép síkjára kiterítik, esetleg a közvetítő felületet ismételten vetítik.)

Hivatkozások

• Coxeter, H.S.M.: Projektív geometria, Gondolat, Budapest (1986)
• Courant, R. - Robins, H.: Mi a matematika?, Gondolat, Budapest (1966)
• Euklidész (Mayer Gy.): Elemek, Gondolat, Budapest (1983); ISBN 963 281 267 0.
• Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai, ELTE,Budapest (2002)
• Hajós György: Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest (1960)
• Halmai Erzsébet: Lineáris algebra, Tankönyvkiadó, Budapest (1979)
• Kárteszi Ferenc: Bevezetés a véges geometriákba, Akadémiai Kiadó, Budapest (1972)
• Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria, Tankönyvkiadó, Budapest (1957)
• Pachné - Frey: Vektor- és tenzoranalízis, Műszaki Könyvkiadó, Budapest (1964)
• Péntek Kálmán: A lineáris algebra alapjai I., Oskar Kiadó, Szombathely (2000)
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)

Kurusa Árpád: Bevezetés a geometriába, Polygon, 2015