Az aritmetika alapjai (Frege)
Az aritmetika alapjai (Die Grundlagen der Arithmetik, rövid idegen néven Grundlagen) Gottlob Frege jénai matematikus 1884-ben írt műve. A mű eredeti, teljes német címe Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Breslau, 1884); azaz Az aritmetika alapjai: a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata. E mű magyarul is megjelent (ld. az irodalomjegyzéket) .
E munkájában Frege alapvetően három tudományos feladatba vág bele és végzi el ezeket gyakorlatilag teljes sikerrel:
- 1. A természetes számok megalapozásával kapcsolatosan kimutatja a matematikában, filozófiában és egyéb tudományokban addig és akkoriban elterjedt számfelfogások és számdefiníciók filozófiai és matematikai tarthatatlanságát, irrelevanciáját;
- 2. Vázolja a természetes számok egy lehetséges, matematikai logikára alapuló megalapozását és ezzel valószínűsíti egy ilyen felépítés lehetőségét, illetve vázlatosan kitér a bővebb számkörök (valós, komplex) megalapozásának problematikájára;
- 3. Ezzel pedig (amennyiben az előbbi megalapozási út helyesnek bizonyul) bizonyítja azt a filozófiai tézisét, hogy az aritmetika a logika része.
Frege szerint a számok fogalmak, mégpedig olyan fogalmak, melyek a „fogalmakat jellemzik”. Bizonyos fogalmakat „azonosítani” tudunk, egy osztályba sorolni egy bizonyos ekvivalenciareláció által. Ez az „X fogalom alá ugyanannyi tárgy esik, mint az Y fogalom alá” reláció lesz, de az „ugyanannyi” szót az önhivatkozás elkerülése végett ki kell még küszöbölni, mégpedig az ún. Hume-elv által (Hume „Az emberi természetről” c. művében írja, hogy valamiből ugyanannyi van, mint másvalamiből, ha az egyik fajtában lévő minden dologhoz pontosan egy dolog tartozik a másikból, és fordítva). tehát az egy adott szám mint fogalom alá eső „tárgyak” maguk is fogalmak. Ezt úgy mondja Frege, hogy a számok másodfokú fogalmak. Ezért van az, hogy az aritmetika törvényei bizonyára logikai törvények: minthogy nem empirikus dolgokról, hanem az ezekből logikailag képzett fogalmakról állítanak valamit. A számokra vonatkozó általános állítások ezért nem természettörvények, hanem ezeknek a törvényeknek a törvényei: eme státuszuk magyarázza, hogy alkalmazhatóak a természetre; és emiatt téveszthetőek össze könnyen az empirikus állításokkal.
Tartalomjegyzék
A mű története[szerkesztés]
Öt évvel a Fogalomírás megjelenése, és néhány, a fogalomírás témáját tovább boncolgató cikke után jelentette meg, Carl Stumpf tanácsára . E törekvését ha elismerés nem is, de siker mindenesetre koronázta: az Aritmetika alapjai poroszos precízséggel felépített, részletes és alapos, ugyanakkor tömör és világos nyelvezettel megfogalmazott mű, az érthető és emberarcú filozófia és matematika örök példája.
Frege valószínűleg levonta előző műve, a Fogalomírás hűvös fogadtatásának tanulságait, és megfogadta Carl Stumpf azon tanácsát, hogy a kérdéses témába vágó gondolatait és indokait fejtse ki részletesen is a nagyközönség számára érthetőbb, köznyelven írott formában, mivelhogy „ez mindkét munka fogadtatására nézve kedvezőbb lenne”.
Tartalom[szerkesztés]
(az oldalszámozás az Áron Kiadónál megjelent kiadásra vonatkozik (ld. Irodalom).
Fejezet vagy bekezdés száma |
A fejezet címe vagy egy alfejezet hosszabb-rövidebb, egy-két mondatos összefoglalója | Oldalszám |
Bevezetés[szerkesztés]
Bevezetés (Előszó) |
11. | |
Bevezetés | 21. | |
1. § | A matematikában újabban felismerhető a törekvés a bizonyítások szigorúságára és a fogalmak pontos megragadására. | |
2. § | A vizsgálatnak végső soron ki kell terjednie a számosság fogalmára. A bizonyítás célja. | |
3. § | Az ilyen vizsgálódás filozófiai indítékai: azon vitás kérdések, hogy a számok torvényei vajon analitikus vagy szintetikus igazságok, a prioriak vagy a posterioriak-e. E kifejezések értelme. | |
4. § | Könyvünk feladata |
I. fejezet[szerkesztés]
I. f. | Néhány szerző véleménye az aritmetikai tételek természetéről |
25 |
Bizonyíthatóak-e a számformulák? | 25 | |
5. § | Kant tagadja ezt; nézetét Hankel joggal nevezi paradoxnak. | |
6. § | Leibniz bizonyítása arra, hogy 2+2=4, tartalmaz egy hézagot. Grassmann definíciója a+b-re hibás. | |
7. § | Mill nézete, miszerint az egyes számok definíciói megfigyelt tényeket állapítanak meg, megalapozatlan. | |
8. § | Ezeknek a definícióknak a jogosságához nem szükséges a szóban forgó tények megfigyelése | |
Induktív igazságok-e az aritmetika törvényei? | 31 | |
9. § | Mill természettörvénye. Amikor Mill aritmetikai igazságokat természettörvénynek nevez, összetéveszti ezeket alkalmazásaikkal. | |
10. § | Indokok azzal szemben, hogy az összeadás törvényei induktív igazságok: a számok nem egyformák; nem áll, hogy már a definíció által birtokunkban van a számok közös tulajdonságainak egy csoportja; valószínűleg megfordítva, az indukciót kell az aritmetikára alapozni. | |
11. § | A leibnizi „velünk született” | |
Az aritmetika törvényei szintetikus a prioriak-e, vagy pedig analitikusak? |
36 | |
12. § | Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. A belső szemlélet, mint megismerési alap. | |
13. § | Az aritmetika és a geometria különbözősége. | |
14. § | Az igazságok összehasonlítása az általuk kormányzott terület szempontjából. | |
15. § | Leibniz és St. Jevons nézetei. | |
16. § | Hogyan becsüli le ezzel szemben Mill „a nyelv ügyes kezelését”. A jelek azért még nem üresek, mert semmi észlelhetőt nem jelentenek. | |
17. § | Az indukció elégtelensége. Feltételezzük, hogy a számok törvényei analitikus ítéletek; miben áll akkor a hasznuk. Az analitikus ítéletek értékéről |
II. fejezet[szerkesztés]
II. f. | Néhány szerző véleménye a számosság fogalmáról |
43 |
18. § | A számosság általános fogalma vizsgálatának szükségessége. | |
19. § | A definíció nem lehet geometriai. | |
20. § | Definiálható-e a szám? Hankel. Leibniz | |
Külső dolgok tulajdonsága-e a számosság? | 45 | |
21. § | M. Cantor és E. Schröder véleménye. | |
22. § | Ezzel szemben Baumann: a külső dolgok nem képeznek szigorú egységeket. A számosság látszólag a mi felfogásunktól függ. | |
23. § | Mill véleménye, mely szerint a szám dolgok aggregátumainak a tulajdonsága, tarthatatlan. | |
24. § | A szám átfogó alkalmazhatósága. Mill. Locke. Leibniz testetlen metafizikai alakzata. Ha a szám valami érzéki volna, nem lehetne nem érzéki dolgoknak tulajdonítani. | |
25. § | Mill fizikai különbségtétele 2 és 3 között. Berkeley szerint a szám nincs reálisan a dolgokban, hanem a szellem alkotja azt. | |
A szám valami szubjektív-e? | 50 | |
26. § | Lipschitz leírása a számok képzéséről nem találó és nem helyettesítheti a fogalmi meghatározást. A szám nem a pszichológia tárgya, hanem valami objektív. | |
27. § | A szám nem az, aminek Schloemilch véli: egy objektum valamely sorozaton belüli helyének a képzete | |
A számosság, mint halmaz | 54 | |
28. § | Thomae névadása |
III. fejezet[szerkesztés]
III. f. | Vélemények az egységről és az egyről | 55 |
Tárgyak tulajdonságát fejezi-e ki az „egy” számnév? |
55 | |
29. § | A „monasz” és „egység" kifejezések sokértelműsége. E. Schröder azon meghatározása, mely szerint az egység a megszámlálandó tárgy, láthatóan céltalan. Az „egy” jelző nem tartalmaz semmi közelebbi meghatározást, nem fogható fel predikátumként. | |
30. § | Leibniz és Baumann meghatározási kísérletei nyomán az egység fogalma, úgy látszik, teljesen eltűnik. | |
31. § | Baumann szerint az ismertetőjegyek: osztatlanság és elhatároltság. Az egység Idáját nem mi fűzzük hozzá minden egyes objektumhoz (Locke). | |
32. § | A nyelv mégis mutat valamilyen összefüggést az osztatlansággal és elhatároltsággal, azonban más értelemben. | |
33. § | Az oszthatatlanság, mint ismertetőjegy (G. Köpp) nem tartható | |
Egyenlőek-e egymással az egységek? | 60 | |
34. § | Az egyenlőség, mint az „egység” név alapja. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Ha elvonatkoztatunk a dolgok különbözőségétől, ezzel nem kapjuk meg a számosság fogalmát, és a dolgok sem lesznek ezáltal egyenlőek. | |
35. § | A különbözőség még szükséges is, ha sokaságról kell beszélnünk. Descartes. E. Schröder. St. Jevons. | |
36. § | Az egységek különbözőségének nézete is nehézségekbe ütközik. Különböző egységek St. Jevonsnál. | |
37. § | Locke, Leibniz, Hesse számmeghatározásai az egységről vagy az egyről. | |
38. § | Az „egy” tulajdonnév, az „egység” fogalomszó. A szám nem definiálható. egységekként. Az „és” és a + különbözősége. | |
39. § | Az „egység” többértelműsége fedi el annak nehézségét, hogy összebékítsük az egységek egyenlőségét és különbözőségét | |
Kísérletek a nehézség áthidalására | 67 | |
40. § | Tér és idő, mint a megkülönböztetés eszközei. Hobbes. Thomae. Ezzel szemben: Leibniz, Baumann, St. Jevons. | |
41. § | Nem érünk célhoz. | |
42. § | A sorozaton belüli hely mint a megkülönböztetés eszköze. Hankel tételezése. | |
43. § | Schrödeτ a tárgyakat az 1 jellel képezi le. | |
A nehézség megoldása | 72 | |
45. § | Visszapillantás. | |
46. § | A szám megadása egy fogalomról szóló kijelentést tartalmaz. Az az ellenvetés, mely szerint változatlan fogalom mellett a szám megváltozna. | |
47. § | A számmegadás tényszerűségét a fogalom objektivitása magyarázza. | |
48. § | Némely nehézségek feloldása. | |
49. § | Megerősítés Spinozánál. | |
50. § | E. Schröder fejtegetése. | |
51. § | Ennek helyesbítése. | |
52. § | Megerősítés egy német szófordulat által. | |
53. § | Különbség egy fogalom ismertetőjegyei és tulajdonságai között. Létezés és szám. | |
54. § | Egységnek egy számmegadás alanyát nevezhetjük. Az egység oszthatatlansága és elhatároltsága. Egyenlőség és megkülönböztethetőség |
IV. fejezet[szerkesztés]
IV. f. | A számosság fogalma | 80 |
Minden egyes szám önálló tárgy | 80 | |
55. § | Kísérlet arra, hogy kiegészítsük Leibniznek az egyes számokra adott definícióit. | |
56. § | A megkísérelt definíciók használhatatlanok, mert olyan kijelentést magyaráznak, amelynek a szám csupán egy része. | |
57. § | A számmegadás számok közötti egyenlőségként tekintendő. | |
58. § | Az az ellenvetés, hogy a szám nem képzelhető el önálló tárgyként. A szám egyáltalában elképzelhetetlen. | |
60. § | Még konkrét dolgok sem mindig elképzelhetőek. Ha egy szó jelentése után kérdezünk, akkor mondatban kell azt vizsgálnunk. | |
61. § | Ellenvetés: a számok nem térbeliek. Nem minden tárgy térbeli | |
Hogy a számosság fogalmához eljuthassunk, rögzítenünk kell a számegyenlőségek értelmét |
86 | |
62. § | Szükségünk van a számegyenlőség egy ismertetőjelére. | |
63. § | Ilyen [ismertetőjel] az egyértelmű hozzárendelés lehetősége. Az a logikai kétség, hogy így nem adunk-e egyre az esetre külön meghatározást az egyenIőségre. | |
64. § | Példák hasonló eljárásra: az irány, a síkok állása, a háromszögek alakja. | |
65. § | Kísérlet a definícióra. Egy második kétely: eleget teszünk-e az egyenlőség törvényeinek. | |
66. § | Harmadik kétely: az egyenlőség ismertetőjele nem elégséges. | |
67. § | A kiegészítés nem történhet úgy, hogy a fogalom ismertetőjegyeként azt a módot vesszük, ahogy egy tárgyat bevezetünk. | |
68. § | A számosság, mint fogalom terjedelme. | |
69. § | Magyarázat | |
Definíciónk kiegészítése és igazolása | 94 | |
70. § | A kapcsolatfogalom. | |
71. § | Hozzárendelés kapcsolatfogalom által. | |
72. § | A kölcsönösen egyértelmű kapcsolat. A számosság fogalma. | |
73. § | Az F fogalmat megillető számosság egyenlő azzal a számossággal, amely a G fogalmat megillett, ha van olyan kapcsolat, amely az F fogalom alá eső dolgokat kölcsönösen egyértelműen hozzárendeli a G alá esőekhez. | |
74. § | Nulla az a számosság, amely az „önmagával nem egyenlő” fogalmat megilleti. | |
75. § | Nulla számosság illeti meg azokat a fogalmakat, amelyek alá semmi nem esik. | |
76. § | Az „n a természetes számok sorozatában közvetlenül következik m-re” kifejezés meghatározása. | |
77. § | 1 az a számosság, amely a „0-val egyenlő” fogalmat megilleti. | |
78. § | Definíciónk segítségével bizonyítandó tételek. | |
79. § | A sorozaton belüli rákövetkezés definíciója. | |
80. § | Ide vonatkozó megjegyzések. A rákövetkezés objektivitása. | |
81. § | Az „x az y-nal végződő φ-sorozathoz tartozik” kifejezés definíciója. | |
82. § | Vázlatos bizonyítása annak, hogy a természetes számok sorozatában nincs utolsó tag. | |
83. § | A véges számosság definíciója. Nincs olyan véges számosság, amely a természetes számok sorozatában saját magára következne | |
Végtelen számosságok | 108 | |
84. § | A „véges számosság” fogalmat megillető számosság végtelen. | |
85. § | A Cantor-féle végtelen számosságok; „kardinális szám”. Eltérés a megnevezésben. | |
86. § | Cantor szukcesszív rákövetkezése és az én sorozatbeli-rákövetkezésem |
V. fejezet[szerkesztés]
IV. f. | Befejezés | 110 |
87. § | Az aritmetikai törvények természete. | |
88. § | Kant lebecsülő véleménye az analitikus ítéletekről. | |
89. § | Kant tétele, mely szerint „érzékiség nélkül nem volnának számunkra adott tárgyak”. Kant érdeme a matematikát illetően. | |
90. § | Az aritmetikai törvények analitikus természetének teljes kimutatásához még hiányzik egy hézagmentes következtetési lánc. | |
91. § | Ennek a hiánynak a pótlása fogalomírásom segítségével lehetséges | |
Másféle számok | 115 | |
92. § | A számok lehetségességének értelme Hankel szerint. | |
93. § | A számok sem a térben rajtunk kívül vannak, sem pedig szubjektívek. | |
94. § | Egy fogalom ellentmondásmentessége nem biztosítja, hogy van, ami a fogalom alá esik, és önmagában is bizonyításra szorul. | |
95. § | (c-b)-t nem tekinthetjük minden további nélkül olyan jelnek, ami megoldja a kivonás feladatát | |
96. § | A matematikus sem alkothat bármit önkényesen | |
97. § | A fogalmakat meg kell különböztetni a tárgyaktól | |
98. § | Hankel meghatározása az összeadásra | |
99. § | A formális elmélet hiányosságai | |
100. § | A komplex számok kimutatásának azon kísérlete, hogy a szorzás jelentését sajátos módon értelmezik | |
101. § | Egy ilyen kimutatás lehetősége nem közömbös a bizonyítás hordereje szempontjából | |
102. § | Annak puszta megkövetelése, hogy egy művelet végrehajtható legyen, nem kielégítése a követelménynek | |
103. § | Kossak meghatározása a komplex számokra csak utalás egy definícióra, és nem kerüli el a különnemű belekeverését. A geometriai ábrázolás | |
104. § | Az a cél, hogy az új számokra is rögzítsük egy újrafelismerési ítélet értelmét | |
105. § | Az aritmetika vonzereje észjellegében rejlik | |
106.-109. § | Visszapillantás | 124 |
A Grundlagen kontextusai (a fordító utószava) | 129 | |
Irodalom | 154 |
Irodalom[szerkesztés]
- Frege, Gottlob: Az aritmetika alapjai (a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata), er.: Die Grundlagen der Arithmetik (Eine logische-matematische Untersuchung über den Begriff der Zahl). Máté András fordítása. Áron Kiadó, Bp., 1999. ISBN 963-9210-03-X .