Euklideszi gyűrű

Az euklideszi gyűrű a számelmélet és az algebra egyik speciális fogalma. Lényegében egy olyan gyűrű, amiben a maradékos osztás, más néven euklideszi osztás tétele igaz. Utóbbinak feltétele, hogy egy speciális függvény, az euklideszi norma legyen értelmezve a gyűrűn.

Az euklideszi gyűrűk lényeges szerepet játszanak az algebrában, mivel számos „jó” tulajdonságuk van, például teljesül bennük a számelmélet alaptétele.

Definíció

Egy R integritástartományt euklideszi gyűrűnek nevezünk, ha benne norma értelmezhető, azaz

$\exists \varphi :R\rightarrow \mathbb {N} ,{\begin{cases}\varphi (x)=0\Leftrightarrow x=0\\\varphi (x)=\varphi (y)\Leftrightarrow x\sim y{\text{, azaz asszociáltjai egymásnak}}\\\varphi (xy)\geq \varphi (x)\varphi (y)\end{cases}}$,

valamint minden $a$ és $b\neq 0$ számmal elvégezhető a maradékos osztás, azaz

$\exists q,r\in R:\varphi (r)<\varphi (b),a=bq+r$. Bizonyítható, hogy ha ez létezik, akkor egyértelmű.

Példák

Az alábbiak euklideszi gyűrűk, ez általában könnyen ellenőrizhető.

• Az egész számok gyűrűje a hagyományos abszolút értékkel, mint normával ellátva. A definíció első felének teljesülése könnyen ellenőrizhető, a maradékos osztás pedig eredetileg pont itt volt megfogalmazva, ezért mondhatni definíció szerint teljesül.
• Ha $T$ test, akkor a felette lévő $T[x]$ polinomgyűrű a fokszám-normával ellátva euklideszi. Itt a fokszám-normát a következő módon definiáljuk:

$\varphi :\mathbb {T} [x]\rightarrow \mathbb {N} ,f\to {\begin{cases}0{\text{, ha }}f=0\\2^{grad(f)}{\text{ egyébként. Itt }}grad(f){\text{ az }}f{\text{ polinom foka.}}\end{cases}}$

Egyszerűen ellenőrizhető, hogy ez kielégíti a normára kirótt feltételeket, figyelembe véve, hogy a polinomgyűrűben az egységek éppen a gyűrű alatti test elemei. Már csak az euklideszi osztást kell igazolni. Legyen $f,g\in \mathbb {K} [x]$. Az euklideszi osztás azt jelenti, hogy $\exists q,r\in \mathbb {K} [x]$, hogy $f=qg+r$ és $\varphi (r)<\varphi (g)$. Ha $\varphi (g)>\varphi (f)$, akkor $f=0\cdot g+f$. Egyébként legyen $g_{0}=g$, és $g_{i}=g_{i-1}-{\frac {\left(g_{i-1}\right)_{grad(g_{i-1})}}{f_{grad(f)}}}f$. Így a $g_{i}$ polinomok szigorúan csökkenú fokszám-normájú sorozatát kapjuk, tehát lesz olyan $j\in \mathbb {N}$, hogy $\varphi (g_{j})<\varphi (f)$. Ekkor a $\sum _{i=1}^{j-1}g_{i}$ és $r=g_{j}$ polinomok teljesítik a feltételünket, erről visszaszorzással meggyőződhetünk.

• A Gauss-egészek gyűrűje az euklideszi normával. A normafeltétel teljesülése egyszerűen belátható, a maradékos osztás kissé nehézkesebb. Legyen $a,b\in \mathbb {G}$. Olyan $q,r\in \mathbb {G}$ számokat keresünk, hogy $a=bq+r$. Ha ezt átalakítjuk kissé, akkor kapjuk, hogy ${\frac {a}{b}}=q+{\frac {r}{b}}$, ebből pedig az euklideszi osztás feltétele miatt következik, hogy $\varphi \left({\frac {r}{b}}\right)^{2}<1$. Az egyenlőség miatt $\varphi \left({\frac {a}{b}}-q\right)^{2}<1$, ami jó is lesz maradéknak. Legyen tehát ${\frac {a}{b}}=c+di$, és keressünk olyan $c',d'\in \mathbb {Z}$ számokat, hogy $|c-c'|\leq {\frac {1}{2}}$, valamint $|d-d'|\leq {\frac {1}{2}}$, azaz legyenek a legközelebbi egészek.Ezek biztosan léteznek az egész számok jólrendezettsége miatt. Ha pedig $q=c'+d'i$, akkor készen is vagyunk, mivel $\varphi \left({\frac {a}{b}}-q\right)^{2}=(c-c')^{2}+(d-d')^{2}\leq \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}<1$.
• Végtelen ciklikus csoport test feletti csoportgyűrűje is euklideszi.

Tulajdonságok

• Minden euklideszi gyűrű egyben főideálgyűrű is. Ez azonban fordítva nem igaz.

Bizonyítás: Legyen $I$ a gyűrű egy ideálja, és $g$ a legkisebb nem nulla normájú eleme. Azt kell belátni, hogy $(g)=I$, azaz a gyűrű minden ideálja főideál. A $(g)\subseteq I$ nyilvánvalóan igaz, mivel $I$ tartalmazza $g$ minden többszörösét. Válasszunk egy tetszőleges $f$ elemet $I$-ből. Erre igaz a gyűrű definíciója miatt, hogy $f=gq+r$, ahol $\varphi (r)<\varphi (g)$. Ezért $r=f-gq$, azaz $r\in I$, és mivel $g$ minimális volt, ezért $r=0$ lehetséges csak. Ezért $f\in (g)$, emiatt $I\subseteq (g)$. A fordítottjára példa az $E\left[{\sqrt {-19}}\right]$ gyűrű, ami főideálgyűrű, de nem euklideszi.

• Érvényes a számelmélet alaptétele. Azonban attól, hogy egy gyűrűben teljesül ez a tétel, még nem lesz euklideszi.
• Az euklideszi gyűrűkben minden irreducibilis elem egyben prímtulajdonságú is. E tulajdonság miatt fordulhat elő az a furcsaság, hogy az iskolában a prímszámokat az irreducibilitás kijelentésével definiálják.
• Minden elempárnak létezik legnagyobb közös osztója. Ez könnyen belátható az euklideszi algoritmus alkalmazásával.