Maradékos osztás

A maradékos osztás egy matematikai művelet.

Az egész számok körében az osztás nem mindig végezhető el. Ha elvégezhető, akkor az a egész osztható a b egésszel. Ha az a egész nem osztható a b egésszel, akkor az egész számok körében maradék képződik; az osztás nem fejezhető be. A maradékos osztás, más néven bennfoglalás eredménye nemcsak a hányados, hanem a maradék is.

Bármely két pozitív egész szám közül a nagyobbikat el tudjuk osztani a kisebbel úgy, hogy az osztási maradék kevesebb legyen, mint a kisebbik szám.

Formális leírása

Tetszőleges a és b ≠ 0 egész számokhoz léteznek olyan egyértelműen meghatározott q és r egész számok, melyekre

$a=b\cdot q+r\$

és 0 ≤ r < |b|

Az egyértelműség bizonyítása

Indirekt módon bizonyíthatunk. Tegyük fel, hogy valamely a és b számokra nem teljesül, azaz találunk $q_{1},q_{2},r_{1},r_{2}$ számokat, amikre

$a=bq_{1}+r_{1}$ és

$a=bq_{2}+r_{2}$

teljesül egyszerre. A két egyenlet különbségét véve kapjuk, hogy

$0=b(q_{1}-q_{2})+(r_{1}-r_{2})$

Átrendezve:

$(r_{2}-r_{1})=b(q_{1}-q_{2})$.

Mivel pedig a maradékok kisebbek, mint b, a különbségüknek csak akkor lehet osztója, ha az nulla, így $r_{1}=r_{2}$. Így pedig kapjuk, hogy a hányadosok különbsége is nulla, azaz $q_{1}=q_{2}$.

Geometriai értelmezése

Ha adott egy $a$ és egy $b$ hosszúságú szakasz, akkor a maradékos osztás hányadosa az a szám, ahányszor a kisebbik szakasz a nagyobbikra felmérhető, míg a maradék a fennmaradó szakasz hosszát adja eredményül. Vegyük észre, hogy ez az értelmezés némileg szélesebb körű definíciót tesz lehetővé, mivel így a maradékos osztást a valós számokra is ki tudjuk terjeszteni. Tulajdonképpen ebből az értelmezésből vezette le Euklidész a róla elnevezett algoritmust, illetve a szakaszok összemérhetőségének fogalmát.

Euklideszi gyűrűk

A fogalom általánosításával definiálható az euklideszi gyűrűk fogalma is: ha egy gyűrűben van egy norma, amire igaz, hogy minden elempár esetén a pár egyik tagját a másik tag egy gyűrűbeli elemmel való szorzatának és egy, a másik tagnál kisebb normájú elemnek az összegeként kaphatjuk meg. Röviden:

$\forall (a,b)\in R:\exists (q,r)\in R,(a=bq+r)\wedge \left(||r||<||b||\right)$