Differenciálgeometria

Egy nyereg alakú síkba (egy hiperbolikus paraboloidba) belemerített háromszög, és két divergáló ultrapárhuzamos vonal.

A differenciálgeometria a matematika azon ága, amely a differenciálszámítás, az integrálszámítás, a lineáris algebra és a multilineáris algebra módszereinek segítségével a geometria problémáit tanulmányozza. A sík- és térgörbék elmélete, és a felületek a háromdimenziós euklideszi térben alkották a 18. és 19. század során az alapot a differenciálgeometria fejlődésére.

A késő 19. századtól a differenciálgeometria egy, a differenciálható sokaságokon található geometriai struktúrákkal inkább általánosságban foglalkozó területté nőtte ki magát. A differenciálgeometria szoros kapcsolatban áll a differenciatopológiával és a differenciálegyenletek elméletének geometriai aspektusaival. A felületek differenciálgeometriája ezen területre jellemző sok kulcsfontosságú gondolatot és technikát foglal magában.

Fejlődésének története

A differenciálgeometria a görbék és felszínek matematikai elemzésének eredményeként és azzal kapcsolatban adódott és fejlődött. A görbék és felületek matematikai elemzése a számtanban felbukkant egyes bosszantó és megválaszolatlan kérdések megválaszolására fejlődött ki, mint a komplex alakzatok és görbék, sorozatok és analitikai függvények közti összefüggések okai, Ezek a megválaszolatlan kérdések nagyobb, rejtett összefüggéseket jeleztek.

Amikor a görbék, a görbék által bezárt felületek és a görbéken levő pontok kvantitatívnak, és általában matematikai formákkal kapcsolatosnak találtattak, a görbék és felületek természetének hivatalos tanulmányozása 1795-ben Monge értekezésével, és különösen Gauss Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores-ban megjelent 'Disquisitiones Generales Circa Superficies Curvas' című cikkével 1827-ben saját jogú tudományterületté vált.

Ágai

Riemann-geometria

A Riemann-geometria a Riemann-sokaságokat tanulmányozza, a Riemann-metrikával rendelkező sima sokaságokat. Ez egy elképzelés a távolság kifejezésére egy, a tangens térben minden ponton meghatározott sima pozitív definit szimmetrikus bilineáris alak segítségével. A Riemann-geometria általánosítja az Euklideszi geometriát olyan terekre, amelyek nem szükségszerűen laposak, bár minden pontban infinitezimálisan, azaz a közelítés első rangjában hasonlítanak az Euklideszi terekre. A hosszúságon alapuló különböző elképzelések, mint a görbék ívhossza, a sík régiók területe és a téridomok térfogata mind rendelkeznek hasonlatosakkal a Riemann-geometriában. Egy többváltozós számításból származó függvény iránymenti deriváltjának elképzelése a Riemann-geometriában egy tenzor kovariáns deriváltjának az elképzelésévé bővül. Az analízis sok elképzelése és technikája, valamint a differenciálegyenletek általánosításra került a Riemann-sokaságok keretein belül.

Egy Riemann-sokaságok közötti távolság-megőrző diffeomorfizmust izometriának hívunk. Ez az elképzelés meghatározható helyileg is, azaz pontok kicsi szomszédosságára. Bármely két szabályos görbe lokálisan izometrikus. Azonban Carl Friedrich Gauss Theorema Egregium-a megmutatta, hogy felületek esetén egy lokális izometria léte a metrikáikra erős kompatibilitási feltételeket kényszerít rá: a Gauss-görbületeknek a megfelelő pontokon ugyanazoknak kell lenniük. Magasabb dimenziókban a Riemann-görbület tenzor egy fontos pontonkénti, Riemann-sokasághoz társult invariáns, amely azt méri, milyen közel van ahhoz, hogy lapos legyen. A Riemann-sokaságok egy fontos osztálya a Riemann szimmetrikus terek, amelyek görbületet nem feltétlenül állandó. Ezek a legközelebbi hasonlatosságok a "hagyományos" síkhoz és térhez az Euklideszi és nemeuklideszi geometriában.

Pszeudo-Riemann-geometria

A pszeudo-Riemann-geometria általánosítja a Riemann-geometriát arra az esetre, amelyben a metrika tenzornak nem kell pozitív-definitnek lennie. Az egyik különös esete ennek egy Lorentz-sokaság, amely Einstein gravitációról szóló általános relativitáselméletének az alapja.

Finsler-geometria

A Finsler-geometria vizsgálatának fő tárgya a Finsler-sokaság. Ez egy Finsler-metrikával, azaz egy minden egyes tangens téren meghatározott Banach-normával rendelkező differenciálsokaság. A Riemann-sokaságok a sokkal általánosabb Finsler-sokaságok különös esetei. A Finsler-struktúra egy M sokaságon egy F függvény : TM → [0,∞) úgy, hogy:

1. F(x, my) = |m|F(x,y) minden x, y-ra a TM-ben,
2. F végtelenségig differenciálható TM-ben − {0},
3. Az F² vertikális Hessiánja pozitív definit.

Szimplektikus geometria

A szimplektikus geometria a szimplektikus sokaságok vizsgálata. Egy majdnem szimplektikus sokaság egy minden egyes tangens téren simán változó nem degenerált ferdén szimmetrikus bilineáris alakkal, azaz egy szimplektikus alaknak hívott ω nem degenerált 2-es alakkal felszerelt differenciálható sokaság. A szimplektikus sokaság egy majdnem szimplektikus sokaság, amelyre a ω szimplektikus alak zárt: dω = 0.

A két szimplektikus sokaság közti diffeomorfizmust, amely megőrzi a szimplektikus formát, szimplektomorfizmusnak hívjuk. A nem degenerált ferdén szimmetrikus bilineáris alak csak a páros dimenziós vektorterekben létezhet, így a szimplektikus sokaságoknak is szükségszerűen páros dimenziójuk van. A 2-es dimenzióban a szimplektikus sokaság csak egy terület alakkal felruházott felület, és a szimplektomorfizmus egy terület-megőrző diffeomorfizmus. Egy mechanikai rendszer fázistere egy szimplektikus sokaság, és már hallgatólagosan megjelentek Joseph Louis Lagrange az analitikus mechanikáról szóló művében, és később Carl Gustav Jacobi és William Rowan Hamilton klasszikus mechanikai megfogalmazásaiban.

Ellentétben a Riemann-geometriával, ahol a görbület szolgáltatja a Riemann-sokaságok egy helyi invariánsát, a Darboux-tétel azt állítja, hogy az összes szimplektikus sokaság lokálisan izomorf. Egy szimplektikus sokaság egyedüli invariánsai természetükben globálisak, és a szimplektikus geometriában a topológiai szempontok játszanak kitüntetett szerepet. A szimplektikus topológiában az első eredmény valószínűleg a Poincaré-Birkhoff-tétel, amelyet Henri Poincaré sejtett meg, és később G.D. Birkhoff bizonyította 1912-ben. Azt állítja, hogy ha egy annulus egy terület-megőrző térképe mindegyik határoló összetevőt az ellenkező irányba csavarja, akkor a térképnek van legalább két rögzített pontja.

Kontakt geometria

A kontakt geometria a páratlan dimenziók bizonyos sokaságaival foglalkozik. Hasonlatos a szimplektikus geometriához, és mint ez utóbbi, a klasszikus matematika kérdéseiből ered. Egy kontakt struktúra egy (2n + 1) – dimenziós M sokaságon egy H sima hipersík mezővel van megadva a tangens nyalábban, ami a lehető legkevésbé van társítva egy differenciálható függvény szinthalmazával az M-en (a szakmai kifejezés a "teljesen nem integrálható tangens hipersík eloszlás"). Minden egyes p pont környezetében egy hipersík eloszlást egy sehol el nem tűnő $\alpha$ 1-alak határoz meg, ami egy sehol el nem tűnő függvénnyel való szorzásig egyedi:

$H_{p}=\ker \alpha _{p}\subset T_{p}M.$

Egy helyi 1-alak M-en egy kontakt alak, ha a H-hoz tartozó külső deriváltjának megkötése egy nem degenerált kettes-alak, és így a H_p-n minden egyes pontban egy szimplektikus struktúrát keletkeztet. Ha a H eloszlás egy globális egyes alakú $\alpha$-val meghatározható, akkor ez az alak akkor és csak akkor kontakt, ha a csúcsdimenziós alak

$\alpha \wedge (d\alpha )^{n}$

egy térfogatalak az M-en, azaz sehol el nem tűnik. A Darboux-tétel egy kontakt analógiája szerint: minden kontakt struktúra egy páratlan dimenziós sokaságon helyileg izomorf, és egy bizonyos helyi normál alakba hozható a koordinátarendszer megfelelő választásával.

Komplex és Kähler-geometria

A komplex differenciálgeometria a komplex sokaságok vizsgálata. A majdnem komplex sokaság egy (1, 1) típusú tenzorral felruházott valódi $M$ sokaság, azaz egy (majdnem komplex struktúrának hívott) vektornyaláb endomorfizmus

$J:TM\rightarrow TM$, úgy, hogy $J^{2}=-1.\,$

Ebből a meghatározásból következik, hogy egy majdnem komplex sokaság páros dimenziójú.

Egy majdnem komplex sokaságot akkor hívunk komplex-nek, ha $N_{J}=0$, ahol $N_{J}$ egy $J$-hez kapcsolódó (2, 1) típusú tenzor, amit Nijenhuis-tenzornak hívnak (vagy néha torzió-nak). Egy majdnem komplex sokaság akkor és csak akkor komplex, ha megenged egy holomorf koordináta atlaszt. A majdnem Hermit-féle struktúra egy majdnem komplex J struktúrával van megadva, a g Riemann-féle metrikával együtt, amely kielégíti a

$g(JX,JY)=g(X,Y)\,$

kompatibilitási feltételt.

Egy majdnem Hermit-féle struktúra természetszerűleg egy differenciál kettes-alakot határoz meg

$\omega _{J,g}(X,Y):=g(JX,Y)\,$.

A következő két feltétel egyenértékű:

1. $N_{J}=0{\mbox{ ; }}d\omega =0\,$
2. $\nabla J=0\,$

ahol $\nabla$ a $g$ Levi-Civita konnexiója. Ebben az esetben a $(J,g)$-t egy Kähler-struktúrának hívjuk, és a Kähler-sokaság és Kähler-struktúrával felruházott sokaság. Különösen a Kähler-sokaság egyszerre komplex és szimplektikus sokaság. A Kähler-sokaságok nagy osztálya (a Hodge-sokaságok osztálya) az összes sima komplex vetítési sokféleséggel van megadva.

CR-geometria

A CR-geometria a komplex sokaságokban levő tartományhatárok intrinsic geometriájának a tanulmányozása.

Differenciáltopológia

A differenciáltopológia a metrika vagy szimplektikus alak nélküli (globális) geometriai invariánsok tanulmányozása.

A differenciáltopológia olyan természetes műveletekkel kezdődik, mint a természetes vektornyalábok Lie-deriváltja és az alakok de Rahm-differenciálja. A Lie-algebroidok mellett a Courant-algebroidok is kezdenek fontos szerepet játszani.

Nyalábok és konnexiók

A vektornyalábok, a principális nyalábok és a konnexiók apparátusa rendkívül fontos szerepet játszik a modern differenciálgeometriában. Egy sima sokaság mindig rendelkezik egy természetes vektornyalábbal, a tangensnyalábbal. Pongyolán fogalmazva, ez a struktúra önmagában csak a sokaság analízisének a kifejtésére elegendő, míg a mértanhoz ezen kívül még szükség van valami módra a tangensterek viszonyításához különböző pontokban, azaz egy párhuzamos transzport fogalmára. Egy fontos példát szolgáltatnak az affin konnexiók. Egy felület esetén az R³-ben, a tangensterek különböző pontokban a környező Euklideszi-tér által keletkeztetett természetes utankénti párhuzamosság felhasználásával azonosíthatók, amely tér metrika- és párhuzamosságdefiníciói jól ismertek. A Riemmann-geometriában a Levi-Civita-konnexió szolgál hasonló célt. (A Levi-Civita-konnexió az utankénti párhuzamosságot egy, a sokaságon megadott tetszőleges Riemann-metrikával kapcsolatban határozza meg.) Általánosabban, a differenciálgeometria tudósai a tereket egy vektornyaláb és egy olyan, tetszőleges affin konnexió segítségével szemlélik, ami egy metrikával kapcsolatban nincs meghatározva. A fizikában a sokaság lehet a téridő kontinuum, és a nyalábok és konnexiók a különböző fizikai mezőkkel kapcsolatosak.

Intrinsic kontra extrinsic

A 18. század elejétől egészen a közepéig a differenciálgeometriát extrinsic nézőpontból vizsgálták: a görbéket és felszíneket egy magasabb dimenziójú Euklideszi-térben fekvőnek tekintették (például egy felületet egy három dimenziós környező térben). A legegyszerűbb eredmények a görbék differenciálgeometriájában és a felületek differenciálgeometriájában találhatók. Riemann munkásságával kezdődően kifejlődött az intrinsic nézőpont, amiben nem beszélhetünk a mértani tárgyból való "kifele" elmozdulásról, mert ennek egy szabadon álló módon való megadása feltételezett. Az alapvető eredmény itt Gauss theorema egregium-ja, azzal a hatással, hogy a Gauss-görbület egy intrinsic invariáns.

Az intrinsic nézőpont sokkal rugalmasabb. Például hasznos a relativitáselméletben, ahol a téridő természetszerűleg nem vehető extrinsic-nek (mi lenne a "külseje"?). Azonban ára van a technikai komplexitás terén: a görbület intrinsic meghatározásai és konnexiói vizuálisan kevésbé intuitívvá válnak.

Ezen két nézőpont kibékíthető egymással, azaz az extrinsic geometria az intrinsic további struktúrájának tekinthető. (Ld. a Nash beágyazási tételt.) A geometriai számtan formalizmusában egy sokaság mind extrinsic, mind intrinsic geometriája jellemezhető egy alak-operátornak nevezett egyszerű duplavektor-értékű egyes alakkal.

Alkalmazásai

Itt található néhány példa, hogyan alkalmazható a differenciálgeometria a tudomány és matematika más területein.

• A fizikában négy felhasználást említünk meg:
  • A differenciálgeometria az a nyelv, amelyen Einstein általános relativitáselmélete kifejezésre került. Az elmélet szerint a világegyetem egy ál-Riemann metrikával rendelkező sima sokaság, amely metrika leírja a téridő görbületét. Ennek a görbületnek a megértése lényeges a műholdak Föld körüli pályára helyezéséhez. A differenciálgeometria szintén nélkülözhetetlen a gravitációs lencse és a fekete lyuk vizsgálatánál.
  • A differenciálalakok használatosak az elektormágnesség tanulmányozásában.
  • A differenciálgeometriának megvannak az alkalmazásai mind a Lagrange-i mechanika, mind a Hamilton-i mechanika területén. Különösen a szimplektikus sokaság használható fel a Hamilton rendszer vizsgálatánál.
  • A Riemann-i geometriát és a kontakt geometriát használták a geometrotermodinamika formalizmusának a megalkotásánál, ami a termodinamika klasszikus egyensúlyában talált alkalmazást.
• A kémiában és a biofizikában a különböző nyomás alatti sejtmembrán-struktúrák modellezésekor.
• A közgazdaságtanban a differenciálgeometriának az ökonometria területén vannak alkalmazásai.
• A mértani modellezés (ideértve a számítógépes grafikát) és a számítógéppel segített geometriai tervezés a differenciálgeometriából származó gondolatokból merít.
• A mérnöki tudományokban a differenciálgeometria a digitális jelfeldolgozás területén felmerülő problémák megoldásában alkalmazható.
• Az irányítástechnikában a differenciálgeometria a nemlineáris vezérlők, különösen a geometriai vezérlés elemzésére használható
• A valószínűségszámításban, a statisztikában és az információelméletben a különböző struktúrák Riemann-sokaságként interpretálhatók, ami az információs geometria területét hozza létre, főleg a Fisher információs metrikán keresztül.
• A strukturális geológiában a differenciálgeometriát a geológiai struktúrák elemzésére és leírására használják.
• A számítógépes látásban a differenciálgeometriát az alakzatok elemzésében használják.
• A képfeldolgozásban a differenciálgeometriát a nem lapos felszínek adatainak feldolgozásánál és elemzésénél használják.
• Grigorij Perelman, a Ricci-áramlás technikáit felhasználó megoldása a Poincaré-sejtés esetén megmutatta a differenciálgeometriai megközelítés erejét a topológia kérdéseiben, és kiemelte fontos szerepét analitikai módszereiben.
• A vezetéknélküli kommunikációban Grassmanni sokaságokat használunk a többantennás rendszerekben a nyalábformáláshoz.

Kapcsolódó szócikkek

• Carl Friedrich Gauss

Irodalom

• Wolfgang Kühnel. Differential Geometry: Curves – Surfaces – Manifolds, 2nd (2002). ISBN 0-8218-3988-8 
• Theodore Frankel. The geometry of physics: an introduction, 2nd (2004). ISBN 0-521-53927-7 
• Spivak, Michael. A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (5 Volumes), 3rd (1999) 
• do Carmo, Manfredo. Differential Geometry of Curves and Surfaces (1976). ISBN 0-13-212589-7  A differenciálgeometria tenzoranalízis nélküli klasszikus geometriai megközelítése.
• Kreyszig, Erwin. Differential Geometry (1991). ISBN 0-486-66721-9  A differenciálgeometria egy jó, klasszikus geometriai megközelítése a tenzoreszköztárral együtt.
• do Carmo, Manfredo Perdigao. Riemannian Geometry (1994) 
• McCleary, John. Geometry from a Differentiable Viewpoint (1994) 
• Bloch, Ethan D.. A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry (1996) 
• Gray, Alfred. Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd (1998) 
• Burke, William L.. Applied Differential Geometry (1985) 
• ter Haar Romeny, Bart M.. Front-End Vision and Multi-Scale Image Analysis (2003). ISBN 1-4020-1507-0 

Külső hivatkozások

• B. Conrad. Differenciálgeometria előadásvázlatok, Stanford University
• Michael Murray online differenciálgeometria kurzusa, 1996
• Egy modern kurzus a görbékről és felüleletekről, Richard S Palais, 2003
• Richard Palais 3DXM felületek gyűjteménye
• Csikós Balázs jegyzetei a differenciálgeometriából
• N. J. Hicks, Jegyzetek a differenciálgeometriából, Van Nostrand.
• MIT OpenCourseWare: Differenciálgeometria, 2008 ősze

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Differential geometry című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.