Mérték (matematika)

A mérték egy függvény, ami egy adott halmaz részhalmazaihoz egy számot rendel. A mindennapi életben például ilyen mérték lehet a hossz, a terület, a térfogat vagy a valószínűség.

A mérték az integrál fogalmát általánosítja.

A mértékelmélet a valós analízis egyik ága, amely a halmazok mérhetőségével foglalkozik. Fontos szerepet tölt be a valószínűségszámításban és a statisztikában.

Formális definíció

A mérték egy $\mu :\Sigma \to [0,\infty ]$ függvény, ahol $\Sigma$ egy X halmaz feletti σ-algebra, ami kielégíti az alábbi feltételeket:

• Az üres halmaz mértéke nulla:

$\mu (\varnothing )=0;$

• σ-additivitás: ha E₁, E₂, E₃, … egy páronként diszjunkt, megszámlálható halmazsorozat $\Sigma$-ban, akkor

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i}).$

Az $(X,\Sigma ,\mu )$ hármast nevezik mértéktérnek, és $\Sigma$ elemeit pedig mérhető halmazoknak.

Tulajdonságok

Monotonitás

μ monoton, vagyis ha E₁ és E₂ mérhető halmazok, és E₁ ⊆ E₂, akkor μ(E₁) ≤ μ(E₂).

Végtelen sok mérhető halmaz uniójának mértéke

Ha E₁, E₂, E₃, … egy megszámlálható halmazsorozat Σ-ban, akkor

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)\leq \sum _{i=1}^{\infty }\mu (E_{i})$.

Ha E₁, E₂, E₃, … mérhető halmazok és E_n részhalmaza E_n+1-nek minden n-re, akkor az E_i halmazok uniója is mérhető, és

$\mu \left(\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$.

Végtelen sok mérhető halmaz metszetének mértéke

Ha E₁, E₂, E₃, … mérhető halmazok és minden n-re E_n+1 részhalmaza E_n-nek, akkor az E_n halmazok metszete is mérhető; illetve, ha legalább egy E_n halmaz mértéke véges, akkor

$\mu \left(\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\right)=\lim _{i\to \infty }\mu (E_{i})$.

Ez a tulajdonság nem teljesül, ha nem tesszük fel, hogy legalább egy halmaz mértéke véges, ugyanis legyen minden n ∈ N esetén

$E_{n}=[n,\infty )\subseteq \mathbb {R}$

Ekkor minden halmaz végtelen mértékű, de a metszetük üres.

Példák

• Lebesgue-mérték

Források

• Paul R. Halmos: Mértékelmélet (Gondolat, 1994)