Elemi algebra

Az algebra egyik alapvető ága az elemi algebra. Ez az algebra történetileg legkorábban kialakult ága, fő feladata a valós együtthatós algebrai egyenletek, egyenlőtlenségek és egyenletrendszerek megoldása. (Az algebra további ágai a lineáris algebra és az absztrakt algebra) ^[forrás?].

Az elemi algebra megértésének előfeltétele a számtani alapműveletek ismerete. A számtanban konkrét számok szerepelnek, az elemi algebrában viszont már számokat reprezentáló szimbólumok, ún. változók is megjelennek.

Számolási szabályok

Összeadás

Az összeadás kommutatív művelet:

$a+b=b+a$

Az összeadás asszociatív művelet:

$(a+b)+c=a+(b+c)$

A kivonás az összeadás ellentéte. Egy negatív szám hozzáadása ekvivalens az ellentettjének kivonásával:

$a+(-b)=a-b$

Szorzás

A szorzás is kommutatív művelet:

$ab=ba$

A szorzás asszociatív művelet:

$(ab)c=a(bc)$

Az osztás a szorzás ellentéte. Egy számmal való osztás megfelel a szám reciprokával való szorzásnak:

${a \over b}=a\left({1 \over b}\right)$

Hatványozás

Azonos alapú hatványok szorzatában a kitevők összeadódnak:

$a^{b}a^{c}=a^{b+c}$

Hatványozott hatványok esetében a kitevők összeszorzódnak:

$(a^{b})^{c}=a^{bc}$

Disztributivitás

A szorzás az összeadásra nézve disztributív:

$a(b+c)=ab+ac$

A hatványozás a szorzásra nézve szintén disztributív:

$(ab)^{c}=a^{c}b^{c}$

Nevezetes szorzatok

Az elemi algebra eszköztárához tartoznak egyes könnyen belátható azonosságok, melyeket nevezetes szorzatoknak is hívunk:

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

$(a+b)(a+b)=a^{2}+b^{2}+2ab$

$(a-b)(a-b)=a^{2}+b^{2}-2ab$

Néha ide sorolják az alábbi azonosságokat is:

$(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})=a^{3}-b^{3}$

$(a+b)(a+b)(a+b)=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

$(a-b)(a-b)(a-b)=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}$

Egyenletek megoldása

Egyismeretlenes lineáris egyenlet

A lehető legegyszerűbb feladat az a lineáris egyenlet, amelynek csak egy ismeretlenje van. Például:

$2x+4=12.\,$

A megoldás technikája az, hogy az egyenlet mindkét oldalával ugyanazt a műveletet végezzük, így az egyenlőség mindig fennmarad. Esetünkben levonunk mindkét oldalból 4-et:

$2x+4-4=12-4\,$

azaz

$2x=8.\,$

Most osztjuk mindkét oldalt 2-vel

${\frac {2x}{2}}={\frac {8}{2}}\,$

így adódik a megoldás

$x=4.\,$

Általános esetben:

$ax+b=c\qquad (a\neq 0)$

Mindkét oldalból b-t kivonva, majd osztva a-val adódik a megoldás:

$x={\frac {c-b}{a}}$

Egyismeretlenes másodfokú egyenlet

A másodfokú egyenlet általános alakja a következő:

$ax^{2}+bx+c=0\qquad (a\neq 0)$

Megszorozva mindkét oldalt 4a-val adódik:

$4a^{2}x^{2}+4abx+4ac=0$

Hozzáadva mindkét oldalhoz $b^{2}$-et, majd levonva 4ac-t:

$4a^{2}x^{2}+b^{2}+4axb=b^{2}-4ac$

A bal oldalon egy nevezetes szorzat tartózkodik. Ezt kihasználva:

$(2ax+b)^{2}=b^{2}-4ac$

Mindkét oldalból gyököt vonunk:

$2ax+b=\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}$

Vonjunk ki mindkét oldalból b-t, s osszunk 2a-val, így adódik a két lehetséges megoldás x-re:

$x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

A $b^{2}-4ac$ értéket szokás az egyenlet diszkriminánsának is nevezni. Észrevehető, hogy ha a diszkrimináns nulla, akkor az egyenlet két megoldása egybeesik. Ha a diszkrimináns negatív, akkor az egyenletnek nincs megoldása a valós számok halmazán.

Többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek

A többismeretlenes lineáris egyenletrendszerek tárgyalása általános esetben a lineáris algebra témakörébe tartozik. Ebben a szócikkben csak elemi példákat mutatunk a három lehetséges esetre:

Egy megoldással rendelkező

Pontosan egy megoldása van az alábbi lineáris egyenletrendszernek:

$x+y=1$

$x-y=1$

A két egyenletet összeadva adódik, hogy

$2x=2$

azaz

$x=1$

Behelyettesítve az első egyenletbe:

$1+y=1$

A megoldás tehát $(x,y)=(1,0)$.

Több megoldással rendelkező

Több lehetséges megoldása is van az alábbi egyenletrendszernek:

$3x-6=0$

$z+y=0$

Tetszőleges $(x,y,z)=(2,y,-y)$ hármas megoldása a feladatnak bármely y értékre.

Megoldhatatlan

Az alábbi lineáris egyenletrendszernek nincs megoldása:

$3x+4=y$

$3x+5=y$

Mivel y-ra ellentmondó feltételek adottak, ezért ez egy paradoxon.

Hivatkozások

Ez a szócikk részben vagy egészben az Elementary algebra című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.