Irracionális számok

Irracionális számnak nevezzük az olyan valós számokat, melyek nem racionálisak, vagyis amelyek nem írhatók fel két egész szám hányadosaként. Az ilyen számok mindig végtelen, nem szakaszos tizedestörtek. A név ugyan latin, de az értelme görög. Az ókori görög 'mathéma' csak a természetes számokat tartotta számoknak. A törtek (bár úgy számoltak velük, mint mi) számukra csak két szám arányai voltak. Súlyos csapás volt az akkori bölcseletre, mikor rájöttek, hogy az egység oldalú négyzet átlója semmilyen aránnyal nem fejezhető ki. Ekkor kezdődött a geometria tudománnyá válása, mert sok, aránnyal ki nem fejezhető mennyiség (elvileg) pontosan kiszerkeszthető.

Nincs mindenki által egységesen elfogadott jelölés az irracionális számokra, azonban a $\mathbb {Q} ^{*}$ és az $\mathbb {I}$ jelöléseket használják leggyakrabban. A félreértésekre legkevésbé lehetőséget adó jelölés az $\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q}$ (azaz a nem racionális valós számok).

Georg Cantor bebizonyította, hogy majdnem minden valós szám irracionális: a racionális számok halmaza megszámlálható, a valósaké (és így az irracionálisaké is) viszont kontinuum számosságú. Az irracionális számok első ma is elfogadott definícióját Dedekind és más kutatók adták meg.

Történetük

Az irracionális számok felfedezése jelenlegi ismereteink szerint Püthagorasz filozófus-iskolájához, a püthagoreusokhoz kötődik. Valószínűleg tőlük származik az a geometriai regressus ad infinitum-bizonyítás, mely szerint gyök kettő irracionális (korabeli, geometriai fogalmakkal: egy négyzet átlója összemérhetetlen annak oldalával). A püthagoreusok számára ez paradoxon volt, mivel felfogásuk szerint a természetben minden leírható arányokkal, végső soron pozitív egész számokkal. A görögök csak jóval később jutottak oda, hogy feloldják ezt a paradoxont (Eudoxosz arányelmélete).

Al-Hvárizmi már hallható és nem hallható számoknak nevezte a racionális, illetve irracionális számokat. A nem hallhatót latinra később surdus-nak (süket) fordították. Ezt a kifejezést később Európában is alkalmazták. Filep László kiemeli, hogy Newton is alkalmazta ezt a terminológiát. Felfogása csak lassan terjedt, és az irracionális számokra igazán csak akkor kezdtek figyelmet fordítani, miután J. H. Lambert (1728-1777) svájci matematikus lánctörtekre hagyatkozva bebizonyította, hogy nemcsak gyökmennyiségek lehetnek irracionálisak, de olyan központi fontosságú matematikai állandók is, mint az Euler-féle e szám.

Algebrai és transzcendens számok

A valós számok halmaza két diszjunkt részhalmazra bontható, az algebrai számokra (${\mbox{ }}_{\mathbb {A} }$, ez részteste ${\mbox{ }}_{\mathbb {R} }$-nek) és transzcendens számokra (${\mbox{ }}_{\mathbb {T} }$). Az algebrai számok, definíciójuk szerint, gyökei valamilyen nemnulla, racionális együtthatós polinomnak. A nem algebrai számok a transzcendens számok, melyek nyilvánvaló módon irracionálisak. Vannak euklideszi módon szerkeszthető és nem szerkeszthető irracionális számok (négyzetgyök kettő szerkeszthető, köbgyök kettő azonban nem), a transzcendens számok ellenben nem szerkeszthetők és nem gyökei semmilyen egész együtthatós polinomnak sem. Ilyen például a π és az e.

Az algebrai számok a racionális számok véges dimenziós, a transzcendensek pedig a végtelen dimenziós elemi testbővítéseinek felelnek meg.

Műveletek irracionális számokkal

Ha irracionális számok között a négy alapműveletet végezzük, kaphatunk racionális számokat és irracionális számokat egyaránt. Nyilvánvaló példák:
${\sqrt {2}}-{\sqrt {2}}=0$
${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}=2$
${\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}=2{\sqrt {2}}$
${\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {3}}={\sqrt {6}}$

Egy racionális és egy irracionális szám összege, különbsége, valamint - ha a racionális szám 0-tól különböző - szorzata és hányadosa is irracionális.

Bizonyos számok irracionalitása

Számos nevezetes valós számról ismert, hogy irracionális, e bizonyítások nehézsége különböző.

• Például, ha a pozitív egész a szám nem négyzetszám, akkor ${\sqrt {a}}$ irracionális. Ez igazolható a számelmélet alaptétele segítségével, de geometriai úton is.
• Hasonlóan irracionálisak a ${\sqrt {\tfrac {m+1}{m}}}$ alakú számok, ha m egész.
• Belátható, hogy ha $n>4$ egész szám, akkor $\mathrm {tg} {\frac {\pi }{n}}$ irracionális.
• Szintén irracionálisak a

$0,1234567891011121314\dots$

és a

$0,23571113171923\dots$

számok (ezeket úgy kapjuk, hogy egymás után írjuk a természetes számok illetve a prímszámok jegyeit) hiszen mindkettő tartalmaz tetszőlegesen hosszú 0-kból álló szakaszt. A prímszámok esetében ennek igazolásához szükségünk van Dirichlet tételére: minden n-re van $k\cdot 10^{n}+1$ alakú prímszám.

• Általánosabban, a normális számok irracionálisak.

Könnyű belátni e irracionalitását. Ennél valamivel nehezebb π irracionalitásának igazolása, de megoldatlan, hogy $e+\pi$ irracionális-e. Sőt, semmilyen (n, m) egész számpárra nem ismert, hogy mπ + ne irracionális-e. Azt viszont könnyű látni, hogy $e+\pi$ és $e\pi$ közül nem lehet mindkettő racionális. Nem ismert, hogy a γ = 0,57721... Euler–Mascheroni állandó irracionális-e vagy sem. Csak sejtés van arról, hogy 2^e, π^e, π^√2, π^π, e^e irracionális-e, de e^π irracionalitása ismert.

Erdős 1948-ban igazolta, hogy a

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}$

sor összege irracionális szám. Azt azonban csak 1991-ben sikerült belátnia Peter Borweinnek, hogy

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}+1}}$

is irracionális. Hosszú ideig nevezetes probléma volt, majd 1977-ben Roger Apéry igazolta, hogy ζ(3) irracionális.

Számosság

A valós számok számossága a megszámlálható végtelennél nagyobb, ellenben a racionális számok halmaza megszámlálható. Ebből következik, hogy az irracionális számok halmaza nem megszámolható. Cantor továbbá azt is megmutatta, hogy az algebrai számok halmaza megszámlálható, hiszen az egész együtthatós polinomokból is megszámlálható sok van. Ebből következik, hogy a komplex számok bármely megszámlálható részhalmazának algebrai lezártja is megszámlálható, ezért nem tartalmazza az összes valós számot.

Források

• Szabó Árpád: Az irracionalitás fölfedezése
• Az irracionális számok a MathWorld-ön
• Sok és részletes bizonyítás