Transzcendens számok

A matematikában azokat a komplex számokat nevezik transzcendensnek, amelyek nem algebrai számok, amelyek tehát nem gyökei egész (vagy racionális) együtthatós polinomnak, más szóval nem megoldásai

$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}=0$

alakú egyenletnek, ahol n ≥ 1, az együtthatók egészek és nem mind egyenlőek nullával.

Noha majdnem minden szám transzcendens (azaz csak megszámlálható sok algebrai szám van az összes számok kontinuum számosságú halmazában Cantor, 1874), adott számról ezt általában igen nehéz belátni.

Az e számról Hermite 1873-ban igazolta, hogy transzcendens. Módszerét továbbfejlesztve Lindemann 1882-ben bebizonyította, hogy π is transzcendens. Ebből már következik a körnégyszögesítés megoldhatatlansága, azaz hogy nem lehet körzővel és vonalzóval adott négyzettel egyenlő területű kört szerkeszteni. Lindemann azt az erősebb állítást igazolta, hogy ha β₁, ..., β_n egymástól, a₁, ..., a_n pedig nullától különböző algebrai számok, akkor

$a_{1}e^{\beta _{1}}+\cdots +a_{n}e^{\beta _{n}}\neq 0.$

Innen azonnal adódik, hogy π nem lehet algebrai, hiszen fennáll a nevezetes e^iπ+1=0 Euler-összefüggés. 1934-ben Alekszandr Oszipovics Gelfond és Theodor Schneider egymástól függetlenül igazolták, hogy ha a∉{0,1}, a algebrai szám, b pedig irracionális algebrai szám, akkor a^b transzcendens, ilyen szám például a √2^√2.

Az 1960-as években Alan Baker bebizonyította, hogy ha α₁, ..., α_n nemnulla algebrai számok, amelyekre log α₁, ..., log α_n lineárisan függetlenek a racionális test fölött, akkor 1, log α₁, ..., log α_n lineárisan függetlenek az algebrai számok teste fölött.

Bizonyítottan transzcendens számok

Számok, melyekről bebizonyították, hogy transzcendensek:

• e^a, ha a algebrai szám és nem nulla (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• π (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• e^π, Gelfond-állandó, továbbá e^−π/2=i ⁱ (a Gelfond–Schneider-tétel alapján).
• a^b, ahol a algebrai és nem 0 vagy 1, b pedig irracionális algebrai szám (a Gelfond–Schneider-tétel alapján), különösen:

$2^{\sqrt {2}},$ a Gelfond–Schneider-állandó (vagy Hilbert-féle szám).

• A lánctört-állandó, Carl Ludwig Siegel (1929)

${1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{6+\ddots }}}}}}}}}}}$

• sin(a), cos(a) és tan(a), valamint multiplikatív inverzeik: cosec(a), sec(a) és cot(a), bármely nem nulla a algebrai számon véve (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• a koszinuszfüggvény attraktív fixpontja, ami a $cos(x)=x$ egyenlet egyetlen megoldása (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• ln(a), ha a algebrai szám és nem 0 vagy 1, a logaritmusfüggvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• W(a), ha a algebrai szám és nem 0, a Lambert-féle W függvény bármely ágán (a Lindemann–Weierstrass-tétel alapján).
• Γ(1/3), Γ(1/4), és Γ(1/6).
• 0,64341054629..., azaz a Cahen-állandó.
• 0,12345678910111213141516..., azaz a Champernowne-állandó.
• Ω, avagy a Chaitin-állandó (mivel ez egy nem kiszámítható szám).
• A Fredholm-szám

$\sum _{n=0}^{\infty }2^{-2^{n}}$

vagy általánosabban, bármely a következő alakban felírható szám:

$\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2^{n}}$

ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.

• A korábban már említett Liouville-állandó

$\sum _{n=1}^{\infty }10^{-n!};$

vagy általánosabban, bármely a következő formában felírható szám:

$\sum _{n=1}^{\infty }\beta ^{n!}$

ahol 0 < |β| < 1 és β algebrai szám.

• A Prouhet–Thue–Morse-állandó.
• Bármely szám, melynek számjegyei valamely számrendszerben Sturmian-szót képeznek.
• Bármely β > 1-re

$\sum _{k=0}^{\infty }10^{-\left\lfloor \beta ^{k}\right\rfloor };$

ahol $\beta \mapsto \lfloor \beta \rfloor$ az egészrész függvény.

Nem bizonyítottan transzcendens számok

Számok, melyekről még nem ismert, hogy transzcendensek vagy algebrai számok:

• A π és az e legtöbb összege, szorzata, hatványa stb., pl. π + e, π − e, πe, π/e, π^π, e^e, π^e, π^√2, e^π2 nem ismert, hogy racionális, algebrai irracionális vagy transzcendens. Fontos kivételek a π + e^π, πe^π és az e^π√n (bármely pozitív egész n-re), melyekről bebizonyosodott, hogy transzcendensek.
• Az γ Euler–Mascheroni-állandó (amiről még az sem ismert, hogy irracionális-e).
• A Catalan-állandó, amiről szintén nem ismert, hogy irracionális-e.
• A ζ(3) Apéry-állandó, (amit Apéry irracionálisnak talált)
• A Riemann-féle zéta-függvény páratlan egész helyen vett függvényértékei – ζ(5), ζ(7), ... – (nem ismert, hogy irracionális-e)
• A δ és α Feigenbaum-állandók
• A Mills-állandó.

Kapcsolódó sejtések:

• Schanuel-sejtés
• négy exponenciális-sejtés.

Kapcsolódó szócikkek

• Transzcendenciaelmélet
• Diofantikus approximáció
• Algebrai szám
• Pí (szám)
• Euler-féle szám

Irodalom

• Baker, Alan. Transcendental Number Theory, reissue, reprint, illustrated, revised, Cambridge University Press. DOI: 10.2277/052139791X. ISBN 0-521-39791-X, ISBN 978-0-521-39791-9 [1975] (1990) , Google Könyvkereső (angolul)
• Klukovits Lajos: Algebrai és transzcendens számok (PDF). (Hozzáférés: 2010. október 12.)