Komplex számok

A komplex számok halmaza a valós számhalmaz olyan bővítése, melyben elvégezhető a negatív számból való négyzetgyökvonás (a valós számok halmazával ellentétben, ahol negatív számnak nincs négyzetgyöke), valamint ennek folyományaként más, valósokon belül nem értelmezett műveletek is értelmezhetővé válnak. A valós szám fogalmának ilyen általánosítását a 16. századi algebrai problémák (casus irreducibilis) vetették fel, később a komplex számok a matematika más területein és a fizikában is alkalmazhatónak bizonyultak.

A komplex számok megalkotása

A komplex számok halmazát $\mathbb {C}$ vagy $\mathbf {C}$ betűvel jelöljük. Imaginárius (képzetes) egységnek az egyik olyan komplex számot nevezzük, amelynek a négyzete −1. Ennek jele i. (A másik komplex szám, melynek négyzete −1, a −i.)

A komplex számok származtatásának három lehetséges módja alább olvasható.

Halmazelméleti modell	Geometriai modell	Algebrai modell
$\mathbb {C} :=\{(x,y)|x,y\in \mathbb {R} \}$, azaz olyan rendezett párok, melyeknek elemei valós számok, tehát az $\mathbb {R} \times \mathbb {R}$ Descartes-szorzat.	$\mathbb {C} :=\{r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }|r\geq 0,\varphi \in \mathbb {R} \}$, ahol az $r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }$ alakú leképezések közös kezdőponttal rendelkező síkbeli forgatva nyújtások (r a nagyítás mértéke, φ a szöge)	$\mathbb {C} :=\mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)$, azaz a valós együtthatójú polinomok x2+1 polinommal történő osztásának maradékai. (Pontosabban az ${\mathbb {R} [x]}$ polinomgyűrű (x2+1) szerinti maradékosztályai)
Szorzás:	Szorzás:	Szorzás:
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)$	Itt $\cdot$ a függvénykompozíció ( $\circ$ ), konkrétan a síkbeli leképezések egymásutánja	a polinomok szorzása
Összeadás:	Összeadás:	Összeadás:
$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$	a képpontba mutató vektorok összege	a polinomok összeadása
A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:	A szorzás egységeleme:
1 := (1,0)	1 := F0° = id (a nulla fokos forgatás)	1 := az azonosan 1 polinom
Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:	Az x2 = -1 egyenlet megoldása:
(0,1)$\cdot$(0,1) = (-1,0) = -(1,0) = -1	F+90°$\circ$F+90° = F180° = – id = – 1	x$\cdot$x = x2 = (x2+1)-1 = 0-1 = -1

A három modellnek az a közös tulajdonsága, hogy mindegyik a valós számtest feletti 2 dimenziós vektortér, melyen egy szorzás is értelmezve van, ami az összeadással együtt testet alkot. Az ilyen algebrai struktúrát a valós számok testbővítésének nevezzük. Érvényes az a tétel, miszerint

a valós számok testének egyetlen olyan valódi testbővítése van, mely kommutatív és véges dimenziós.

Ezt az (izomorfizmus erejéig egyértelműen meghatározott) testbővítést a komplex számok halmazának nevezzük. A komplex számok fenti három értelmezése tehát kölcsönösen egyértelmű és művelettartó módon megfeleltethető egymásnak. Az előbbi tétel következményeként kijelenthetjük, hogy a komplex számok bizonyos értelemben a számkörbővítés utolsó állomásának tekinthető. Tovább csak úgy bővíthető a számkör, ha feladjuk a szorzás kommutativitását (kvaterniók) illetve ezen túl a szorzás asszociativitását (oktoniók).

Halmazelméleti modell

A rendezett valós számpárok összessége alkotja a komplex számok halmazelméleti modelljét. Az összeadást ebben a modellben az

$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\,$

formulával definiáljuk;

a szorzást a kissé légbőlkapott

$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,bc+ad)\,$

egyenlőséggel. Ellenőrizhető, hogy ez az (R×R, +, $\cdot$) matematikai struktúra valóban testet alkot a

0 := (0,0) additív neutrális elem és a

1 := (1,0) multiplikatív neutrális elem

választásával.

Érdemes még felírni az additív inverz elemet:

$-(a,b)=(-a,-b)$

és a mutiplikatív inverz elemet minden nem nulla elem esetén:

${\frac {1}{(a,b)}}=\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}\right).$

A valós számtestet az

R $\rightarrow$ R×R, a $\mapsto$ (a,0)

bijektív azonosítással kapjuk.

A kardinális kérdés, hogy melyik elem alkalmas -1 négyzetgyökének. A válasz (0,1) és (0,-1), mely közül i -vel jelöljük és imaginárius egységnek mondjuk a (0,1) elemet:

(0,1)² = (0,1)$\cdot$(0,1) = (0$\cdot$0 – 1$\cdot$1,1$\cdot$0 + 0$\cdot$1) = (-1,0) = -1

Ez a modell a komplex számok összeadási tulajdonságát teszi szemléletessé, visszavezetve azt a vektorösszeadásra.

Geometriai modell

A közös kezdőpontú, síkbeli forgatva nyújtások alkotják a komplex számok geometriai modelljét. Minthogy ezek egy (Descartes-féle derékszögű, ortonormált) koordináta-rendszer választásával azonosíthatók bizonyos lineáris leképezésekkel, érdemes rögtön a mátrixukra áttérni. A φ szöggel elforgató, r-szeresére nyújtó ${\mbox{ }}_{r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }}$ leképezés mátrixa:

$[r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }]=r\cdot {\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\;\;\cos \varphi \end{pmatrix}}$

vagy az a := r$\cdot$cos(φ), b := r$\cdot$sin(φ) választással:

${\begin{pmatrix}a&-b\\b&\;\;a\end{pmatrix}}$.

Az ilyen alakú leképezések illetve mátrixok alkotják a geometriai modellt.

Itt a műveletek a következők lesznek. Az összeadás a mátrixösszeadás:

$[r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }+s\cdot {\mathcal {F}}_{\psi }]=[r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi }]+[s\cdot {\mathcal {F}}_{\psi }]$

A szorzás a leképezések kompozíciója, ami mátrixokkal felírva a mátrixszorzás:

$[(r\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi })\circ (s\cdot {\mathcal {F}}_{\psi })]=[(r\cdot s)\cdot {\mathcal {F}}_{\varphi +\psi }]=rs{\begin{pmatrix}\cos(\varphi +\psi )&-\sin(\varphi +\psi )\\\sin(\varphi +\psi )&\;\;\cos(\varphi +\psi )\end{pmatrix}}$

Az additív neutrális elem a 0 szorosára nyújtó leképezés, illetve a nullmátrix, a multiplikatív egységelem a 0°-os elforgatás. Egy nemnulla elem multiplikatív inverze az ugyanolyan szögű, de ellenkező irányba forgató leképezés, melynek nyújtási tényezője az eredeti reciproka.

A +90°-os forgatás olyan leképezés, melyet egymás után kétszer végrehajtva az identitás leképezés ellentettjét, a 180°-os forgatást kapjuk, tehát megoldható az x² = -1 egyenlet.

Ez a modell a komplex számok szorzási tulajdonságait teszi szemléletessé.

Algebrai modell

Algebrai modellnek az R[x] polinomgyűrű (x²+1) főideálja szerinti R[x] / (x²+1) faktorgyűrűjét értjük, mely ellenőrizhető, hogy testet alkot. Ez praktikusan azt jelenti, hogy a komplex számok ekkor a valós együtthatós polinomok x²+1 polinommal történő osztási maradékai, tehát legfeljebb elsőfokú polinomok, ahol a műveleteket (összeadás, szorzás) a maradékokkal kell végeznünk. Az algebrai modellben az x²+1 polinomot úgy tekinthetjük, mint ami azonos a 0 polinommal, hiszen ezt saját magával maradékosan elosztva nullát kapunk:

$x^{2}+1\equiv 0$

Ebből következik, hogy az elsőfokú x polinom (mint polinomosztási maradék) megoldása az

$x^{2}\equiv -1$

egyenletnek. Ezt nevezzük ebben az esetben az imaginárius egységnek, amit i-vel jelölünk, és amely jelölés alkalmazásával az x²+1-tel történő osztás minden maradéka előáll az

$a+bi\,$

nevezetes algebrai alakban.

Ezek után az algebrai modellben minden azonosítás helyett az = jelet írhatjuk és figyelembe véve a polinomok és algebrai törtek műveleteit, minden testben végezhető műveletet ugyanúgy végezhetünk, mint a valós számok között, figyelve arra, hogy i azt az elemet jelöli, melyre

$i^{2}=-1;i^{3}=-i;i^{4}=1;i^{5}=i\,$

Számolás a komplex számok körében

Algebrai alak

Bárhogy is definiáljuk a komplex számok ${\mbox{ }}_{\mathbb {C} }$ halmazát, benne megtaláljuk a multiplikatív egységelemet, az 1-et és az imaginárius egységet, az i-t. Ezek ketten bázist alkotnak a komplex számok kétdimenziós terében, ezért minden z ∈ ${\mbox{ }}_{\mathbb {C} }$ komplex szám egyértelműen előállítható z = a$\cdot$1 + b$\cdot$i alakban, ahol a és b valós számok. Ennél fogva egyszerűbb áttérni a következő logikus jelölésre:

$z=a\,+\,b\cdot i$

Mivel a és b a z által egyértelműen van meghatározva, ezért ezeknek nevet is adhatunk. a-t a z szám valós részének nevezzük és

$\mathrm {Re} \,z$

-vel jelöljük, b-t a z szám imaginárius részének:

$\mathrm {Im} \,z$

vegyük észre, hogy az elnevezésével ellentétben, a definíció alapján az imaginárius rész nem imaginárius, hanem valós szám. Tehát:

$z=\mathrm {Re} \,z\,+\,i\cdot \mathrm {Im} \,z$

A komplex számok halmazán normát, vagy abszolút értéket is bevezethetünk, ha z = a + bi, akkor

$|z|:={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$.

Geometriai ábrázolás

A geometriai ábrázolásban minden komplex szám a kétdimenziós sík egy vektorának feleltethető meg. Ez az ábrázolás a Gauss-féle számsík, vagy (hogy Gauss neve ne legyen túlterhelve és ennek az ábrázolási formának az első bevezetőjéről legyen elnevezve) Argand-diagram (Jean-Robert Argand). Így egy komplex számnak van hossza, ez pont az előzőekben definiált abszolút érték (mely az R²-beli euklideszi norma), és irányszöge, vagy arkusza, mely a valós tengellyel bezárt irányított szöge.

Trigonometrikus alak

A geometria és a halmazelméleti modell összevetéséből kiderül, hogy a z = a + bi komplex szám felírható

$z=r\cdot (\cos \,\varphi +i\!\cdot \!\sin \,\varphi )$

alakban, ahol r nemnegatív szám z modulusa, a φ radiánban megadott szögérték az árkusza. Ekkor persze

$a=r\,\cos \,\varphi$ és

$b=r\,\sin \,\varphi$.

A fordított reláció a sugarat ugyan igen, de az árkuszt nem egyértelműen fejezi ki:

$r={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$

Illetve nem nulla a esetén:

$\varphi ={\begin{cases}\mathrm {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{ha }}a>0\\\pi +\mathrm {arctg} \left({\frac {b}{a}}\right),&{\mbox{ha }}a<0.\end{cases}}$

Érdemes továbbá megemlíteni, hogy a komplex számokon értelmezett arg függvény az alábbi képlettel vezethető vissza az arctg2 függvényre:

$\arg(a+bi)=\operatorname {arctg2} (b,a)\,$

Ennek az alaknak a komplex számok szorzásánál, hatványozásánál és a komplex számokból való gyökvonásnál vesszük hasznát. A z₁ és z₂ komplex számok triginometrius alakban felírt szorzata a geometriai modellhez hasonlóan:

$z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}r_{2}(\cos(\varphi +\psi )+i\sin(\varphi +\psi ))$

A többtagú szorzás ugyanígy, speciális esetben a hatványozás:

$z^{n}=r^{n}(\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi ))$

amelyet r = 1 esetén felírva a Moivre-formulát kapjuk:

$(\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi )^{n}=\cos(n\varphi )+i\sin(n\varphi )$

Exponenciális alak

Mivel a komplex test normált, ezért léteznek és igazolható módon konvergensek a következő sorok:

$\sin \,z=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}z^{2k+1}$

$\cos \,z=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}z^{2k}$

$\exp \,z=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}z^{n}$

Ha a csupa páratlan tagot tartalmazó szinusz i-szeresét hozzáadjuk a csupa páros tagból álló koszinuszhoz, akkor az exponenciális olyan alakját kapjuk, melyben a változó i-vel van szorozva:

$\exp(iz)=e^{iz}=\cos \,z+i\sin \,z$

Mindez a valós z = φ-re is igaz, mely esetet Euler-formulának nevezzük:

$e^{i\varphi }=\cos \,\varphi +i\sin \,\varphi$

Van amikor a φ = π -re vonatkozó esetet nevezik Euler-formulának:

$e^{i\pi }=-1\,$

Tehát minden komplex szám előáll

$z=re^{i\varphi }$

alakban.

Az exponenciális alak segítségével a komplex számok szorzása, osztása és hatványozása a szokásos szabályok szerint folyik:

$z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}e^{i\varphi _{1}}\cdot r_{2}e^{i\varphi _{2}}=r_{1}r_{2}e^{i(\varphi _{1}+\varphi _{2})}$

Feltéve, hogy r₂ nem nulla:

${\frac {z_{1}}{z_{2}}}={\frac {r_{1}e^{i\varphi _{1}}}{r_{2}e^{i\varphi _{2}}}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\varphi _{1}-\varphi _{2})}$

$z^{n}=r^{n}\cdot e^{in\varphi }$

Érdemes a nemnulla komplex számokat teljesen exponenciális alakban írni:

$z=re^{i\varphi }=e^{\varphi _{0}}e^{i\varphi }=e^{\varphi _{0}+i\varphi _{1}}$

Ekkor a nemnulla z komplex szám komplex w kitevőjű hatványozása, ha v = φ₀+iφ₁, akkor

$z^{w}=(e^{\varphi _{0}+i\varphi _{1}})^{w}=(e^{v})^{w}=e^{v\cdot w}$

Gyökvonás komplex számokból

A gyökvonásról általában

Mielőtt továbblépnénk jegyezzük meg, hogy az Euler-képlet segítségével egy komplex szám végtelen sokféleképpen felírható, mert az arkuszához formálisan akárhányszor hozzáadhatunk $2\pi$-t:

$z=R\cdot e^{i\cdot \phi }=R\cdot e^{i\cdot \left(\phi +k\cdot 2\pi \right)}$,

ahol k=0,1,2,…. Ez fontos, mert amikor $z$-ből n-edik gyököt vonunk, akkor egy olyan komplex számot keresünk, amelynek arkuszát n-nel szorozva visszakapjuk az eredeti arkuszt. De a fenti megjegyzés szerint nem csak ${\frac {\phi }{n}}$ ilyen, hanem a következő arkuszok mind:

${\frac {\phi }{n}}+{\frac {k\cdot 2\pi }{n}}$,

ahol k=0,1,2, … n-1 . Tehát n különböző n-edik gyök létezik

${\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{R\cdot \left(e^{i\cdot \phi }\right)}}={\sqrt[{n}]{R}}\cdot e^{i\cdot \left({\frac {\phi }{n}}+{\frac {k\cdot 2\pi }{n}}\right)}$, ahol k=0,1,2, … n-1.

Valóban, ezek mind olyan komplex számok, melyekre igaz, hogy n-edik hatványuk éppen $z$. Triviális példa az 1-szám. Ennek négyzetgyökei, mint az elemekből ismeretes $\pm 1$, vagyis a következő két (komplex) szám $e^{0}=1\,$ és $e^{i\cdot \left(0+\pi \right)}=-1$.

Példaképp most számoljuk ki a

$z=1+i={\sqrt {2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {\pi }{4}}}$

komplex szám negyedik gyökeit. A mondottak szerint négy ilyen negyedik gyök van:

${\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {\pi }{16}}}$,

${\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {9\cdot \pi }{16}}}$,

${\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {17\cdot \pi }{16}}}$ és

${\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {25\cdot \pi }{16}}}$.

Valóban, például az utolsó gyököt a negyedik hatványra emelve:

${\left({\sqrt[{8}]{2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {25\cdot \pi }{16}}}\right)}^{4}={\sqrt {2}}e^{i\cdot {\frac {25\cdot 4\cdot \pi }{16}}}={\sqrt {2}}\cdot e^{i\cdot \left({\frac {\pi }{4}}+3\cdot 2\pi \right)}={\sqrt {2}}\cdot e^{i\cdot {\frac {\pi }{4}}}=1+i$.

Rendezés

A komplex számok körében nem lehetséges definiálni olyan ≤ rendezési relációt, mely „kompatibilis” az összeadás és szorzás műveletekkel, így nem alkotnak rendezett testet (bár egyéb módon a komplex számok teste rendezhető (például a lexikografikus rendezéssel), sőt a jólrendezési tétel alapján jólrendezhető is, csak az ilyen rendezések egyike sem lesz kompatibilis a hagyományos +, · műveletekkel).

A komplex számtest algebrai és topologikus jellemzései

Tétel – Frobenius tétele – A valós számok teste feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrák (algebraizomorfizmus erejéig) a következők:

• a valós számok teste,
• a komplex számok teste,
• a kvaterniók teste.

Ennek a tételnek a következménye, hogy a valós számok testbővítései közül egy definiáló tulajdonság segítségével kiválaszthatjuk a komplex számok testét. Mivel minden test nullosztómentes, ezért elegendő azt a megszorítást tenni, hogy véges dimenziós (1, 2, vagy 4), valódi bővítése R-nek (dim > 1) és kommutatív (tehát nem a kvaternió ferdetest), ekkor eljutunk a komplex számok testéhez.

Felvetődik a kérdés, hogy a valós számokra való hivatkozás nélkül is kijelölhető-e a testek közül a komplex számtest.

Tétel – A komplex számok karakterizációja, mint test – Testizomorfizmus erejéig egyetlen olyan test van, mely:

• karakterisztikája 0,
• a prímteste feletti transzcendencia foka kontinuum,
• algebrailag zárt.

Ez a komplex számok teste.

(A prímtest, a minimális résztest (igazolható, hogy ez egyértelműen létezik), a transzcendencia foka a transzcendencia-bázis számossága (jelen esetben kontinuum). Algebrailag zárt egy test, ha minden legalább elsőfokú polinomjának van gyöke a testben.)

Ezzel a karakterizációval elveszítjük a komplex számok topologikus tulajdonságait, melyek a valós számokkal való kapcsolatából erednek. A komplex számok testének, mint topologikus testnek a karakterizációját Pontrjagin határozta meg első ízben:

Tétel – Pontrjagin tétele – Összefüggő, lokálisan kompakt topologikus testből csak kétféle van az izomorfizmus erejéig, éspedig a valós számok teste és a komplex számok teste.

Ennek segítségével úgy jellemezhető a komplex számtest, mint olyan, a fenti tulajdonságokkal rendelkező test, melyben a nemnulla elemek összefüggő halmazt alkotnak (ellentétben a valósokkal).

Mely területeken találkozhatunk komplex számokkal?

• Matematika számtalan területén
• Elektronikában: színuszos jeleknél RLC szűrőkörök számításánál, digitális jelfeldolgozásnál, szabályozókörök számításánál

Programozási nyelvek, amelyekben található komplex aritmetika

• C: #include <complex.h>;
• C++: #include <complex>;
• C#: using System.Numerics;
• D: import std.complex;
• Fortran: alapból kezeli
• Go: import "math/cmplx"
• Julia: alapból kezeli
• Matlab: alapból kezeli
• Octave: alapból kezeli
• Perl: use Math::Complex;
• Python: alapból ismeri, illetve további függvényekhez import cmath
• Rust: use num_complex::Complex;

Hivatkozások

Lásd még

• Az algebra alaptétele

Források

• A PlanetMath complex szócikke
• A PlanetMath complex number szócikke
• A MathWorld complex number szócikke
• A komplex számok története
• Komplex számok szemléltetőfilmjeinek letöltő oldala - az 5. és a 6. fejezet (130 és 190 MB, angol, francia, spanyol vagy arab nyelvű hanggal)